planet/zhcosin/高中数学习题集.tm

<TeXmacs|2.1.2>

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  https://coding.net/u/zhcosin/p/math-notes-publish
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    2.4<space|2spc>\<#5BF9\>\<#79F0\>\<#6027\>
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    5.1<space|2spc>\<#5747\>\<#503C\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>
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    <vspace*|1fn><with|font-series|bold|math-font-series|bold|6<space|2spc>\<#89E3\>\<#6790\>\<#51E0\>\<#4F55\>>
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    <no-break><pageref|auto-18><vspace|0.5fn>

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    <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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  \<#5BB9\>\<#65A5\>\<#539F\>\<#7406\>.\<#62BD\>\<#5C49\>\<#539F\>\<#7406\>.\<#6574\>\<#9664\>\<#7406\>\<#8BBA\>.

  \<#53CD\>\<#8BC1\>\<#6CD5\>.

  \;

  <\problem>
    \<#8BC1\>\<#660E\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>\<#80FD\>\<#88AB\>3\<#6574\>\<#9664\>\<#7684\>\<#5224\>\<#5B9A\>\<#89C4\>\<#5219\>.
  </problem>

  \;

  <\problem>
    \;

    (1). \<#7528\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#5F52\>\<#7EB3\>\<#6CD5\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#516C\>\<#5F0F\>:

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|1+2+\<cdots\>+n>|<cell|=>|<cell|<frac|1|2>n<around*|(|n+1|)>>>|<row|<cell|1<rsup|2>+2<rsup|2>+\<cdots\>+n<rsup|2>>|<cell|=>|<cell|<frac|1|6>n<around*|(|n+1|)><around*|(|2n+1|)>>>|<row|<cell|1<rsup|3>+2<rsup|3>+\<cdots\>+n<rsup|3>>|<cell|=>|<cell|<frac|1|4>n<rsup|2><around*|(|n+1|)><rsup|2>>>>>
    </eqnarray*>

    \;

    (2). \<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#53F3\>\<#8FB9\>\<#90FD\>\<#51FA\>\<#73B0\>\<#4E86\>\<#5206\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#8BF7\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#53F3\>\<#8FB9\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#51FA\>\<#73B0\>\<#5C0F\>\<#6570\>\<#FF08\>\<#4E0D\>\<#5F97\>\<#4F7F\>\<#7528\>\<#8FD9\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#5DE6\>\<#8FB9\>).
  </problem>

  \;

  \;

  <chapter|\<#51FD\>\<#6570\>>

  \;

  \<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#FF0C\>\<#590D\>\<#5408\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#53CD\>\<#51FD\>\<#6570\>.

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  \<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>.

  \;

  <section|\<#590D\>\<#5408\>\<#51FD\>\<#6570\>>

  \;

  <\problem>
    \<#53CC\>\<#66F2\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E3A\>:

    <\equation*>
      cosh x=<frac|<with|math-font-family|rm|e><rsup|x>+<with|math-font-family|rm|e><rsup|-x>|2>\<nocomma\>,<space|1spc>sinh
      x=<frac|<with|math-font-family|rm|e><rsup|x>-<with|math-font-family|rm|e><rsup|-x>|2>,<space|1spc>tanh
      x=<frac|sinh x|cosh x>
    </equation*>

    \<#5206\>\<#522B\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#53CC\>\<#66F2\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#3001\>\<#53CC\>\<#66F2\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#3001\>\<#53CC\>\<#66F2\>\<#6B63\>\<#5207\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF1A\>

    (1). \<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#7684\>\<#5947\>\<#5076\>\<#6027\>.

    (2). \<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#516C\>\<#5F0F\>:
    <math|cosh<rsup|2>x-sinh<rsup|2>x=1>.

    (3). \<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#548C\>\<#5DEE\>\<#516C\>\<#5F0F\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|cosh<around*|(|x\<pm\>y|)>>|<cell|=>|<cell|cosh
      x cosh y\<pm\>sinh x sinh y>>|<row|<cell|sinh<around*|(|x\<pm\>y|)>>|<cell|=>|<cell|sinh
      x cosh y\<pm\>cosh x sinh y>>>>
    </eqnarray*>

    \;

    (4) \<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#500D\>\<#534A\>\<#516C\>\<#5F0F\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|cosh <around*|(|2x|)>>|<cell|=>|<cell|2cosh
      <rsup|2>x-1=cosh<rsup|2>x+sinh<rsup|2>x>>|<row|<cell|sinh<around*|(|2x|)>>|<cell|=>|<cell|2sinh
      x cosh x>>>>
    </eqnarray*>

    \;

    (5) \<#5C06\>\<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#4E0E\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#5BF9\>\<#6BD4\>.
  </problem>

  <section|\<#53CD\>\<#51FD\>\<#6570\>>

  \;

  <section|\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>>

  <\problem>
    <label|montonicity-of-combined-func>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around*|(|x|)>> \<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around*|[|a,b|]>> \<#4E0A\>\<#5E76\>\<#5177\>\<#5907\>\<#67D0\>\<#79CD\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#76F8\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#503C\>\<#57DF\>\<#4E3A\>
    <math|<around*|[|r,s|]>>\<#FF0C\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|g<around*|(|u|)>> \<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around*|[|r,s|]>> \<#4E0A\>\<#4E5F\>\<#5177\>\<#5907\>\<#67D0\>\<#79CD\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#8BD5\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#76F8\>\<#5E94\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#4E0E\>\<#590D\>\<#5408\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|g<around*|(|f<around*|(|x|)>|)>> \<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around*|[|a,b|]>> \<#4E0A\>\<#7684\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#7684\>\<#5173\>\<#7CFB\>.
  </problem>

  \;

  <\problem>
    \<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around*|(|x|)>>
    \<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\> <math|<around*|[|a,b|]>>
    \<#4E0A\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#FF0C\>\<#8BC1\>\<#660E\>:
    \<#5B83\>\<#7684\>\<#53CD\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<rsup|-1><around*|(|x|)>> \<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around*|[|f<around*|(|a|)>,f<around*|(|b|)>|]>>
    \<#4E0A\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>.
  </problem>

  \;

  <\problem>
    \<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>\<#662F\>\<#5426\>\<#5FC5\>\<#987B\>\<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#6709\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#5728\>\<#6570\>\<#96C6\>(\<#5982\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#96C6\>)\<#4E0A\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#8BD5\>\<#4E3E\>\<#4F8B\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#4E4B\>\<#FF1F\>
  </problem>

  \;

  <\problem>
    <label|montonicity-of-sum-of-x-and-a-over-x>\<#8BBE\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around*|(|x|)>=x+<frac|a|x>>.

    (1). \<#8BC1\>\<#660E\>: \<#82E5\> <math|a\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|<around*|(|0,<sqrt|a>|)>> \<#4E0A\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#51CF\>\<#5C11\>\<#FF0C\>\<#5728\>
    <math|<around*|(|<sqrt|a>,+\<infty\>|)>>
    \<#4E0A\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>.(\<#4E0D\>\<#8981\>\<#4F7F\>\<#7528\>\<#5BFC\>\<#6570\>)

    (2). \<#8BC1\>\<#660E\>: \<#82E5\> <math|a\<less\>0>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5728\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around*|(|-\<infty\>,0|)>> \<#548C\>
    <math|<around*|(|0,+\<infty\>|)>> \<#4E0A\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#589E\>\<#52A0\>.(\<#4E0D\>\<#8981\>\<#4F7F\>\<#7528\>\<#5BFC\>\<#6570\>)
  </problem>

  \;

  <\problem>
    \<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#53CC\>\<#66F2\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#53CC\>\<#66F2\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>.(\<#63D0\>\<#793A\>\<#FF1A\>\<#5229\>\<#7528\>\<#9898\>\<#76EE\>
    <reference|montonicity-of-combined-func>\<#4E0E\>\<#9898\>\<#76EE\><reference|montonicity-of-sum-of-x-and-a-over-x>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#679C\>)
  </problem>

  <section|\<#5BF9\>\<#79F0\>\<#6027\>>

  <\problem>
    \<#8BC1\>\<#660E\>: \<#4EFB\>\<#4F55\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#57DF\>\<#5173\>\<#4E8E\>\<#539F\>\<#70B9\>\<#5BF9\>\<#79F0\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#88AB\>\<#8868\>\<#793A\>\<#6210\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5947\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5076\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#4E4B\>\<#548C\>\<#7684\>\<#5F62\>\<#5F0F\>.
  </problem>

  \;

  <\problem>
    (1). \<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF1A\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around*|(|x|)>> \<#7684\>\<#56FE\>\<#8C61\>\<#5173\>\<#4E8E\>\<#76F4\>\<#7EBF\>
    <math|x=a> \<#5BF9\>\<#79F0\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>\<#7B49\>\<#5F0F\>
    <math|f<around*|(|a+x|)>=f<around*|(|a-x|)>>
    \<#5BF9\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#57DF\>\<#4E0A\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x> \<#90FD\>\<#6210\>\<#7ACB\>.

    (2). \<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF1A\>(1) \<#4E2D\>\<#7684\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#6539\>\<#5199\>\<#4E3A\>
    <math|f<around*|(|2a-x|)>=f<around*|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#6210\>\<#7ACB\>.
  </problem>

  \;

  <\problem>
    (1). \<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF1A\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around*|(|x|)>> \<#7684\>\<#56FE\>\<#8C61\>\<#5173\>\<#4E8E\>\<#70B9\>
    <math|<around*|(|a,b|)>> \<#4E2D\>\<#5FC3\>\<#5BF9\>\<#79F0\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>\<#7B49\>\<#5F0F\>
    <math|f<around*|(|a+x|)>+f<around*|(|a-x|)>=2b>
    \<#5BF9\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#57DF\>\<#4E0A\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x> \<#90FD\>\<#6210\>\<#7ACB\>.

    (2). \<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF1A\>(1) \<#4E2D\>\<#7684\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#6539\>\<#5199\>\<#4E3A\>
    <math|f<around*|(|2a-x|)>+f<around*|(|x|)>=2b>\<#FF0C\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#6210\>\<#7ACB\>.
  </problem>

  <section|\<#5468\>\<#671F\>\<#6027\>>

  <\problem>
    \<#5468\>\<#671F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#662F\>\<#5426\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6700\>\<#5C0F\>\<#6B63\>\<#5468\>\<#671F\>\<#FF0C\>\<#82E5\>\<#4E0D\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#FF0C\>\<#8BF7\>\<#4E3E\>\<#4F8B\>\<#8BF4\>\<#660E\>.
  </problem>

  \;

  <\problem>
    \<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF1A\>\<#82E5\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#4E0B\>\<#8FF0\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#4E4B\>\<#4E00\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#5468\>\<#671F\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>
    <math|2T> \<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5468\>\<#671F\>:

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|f<around*|(|x+T|)>=-f<around*|(|x|)>>.

      <item><math|f<around*|(|x+T|)>=<frac|1|f<around*|(|x|)>>>.

      <item><math|f<around*|(|x+T|)>=-<frac|1|f<around*|(|x|)>>>

      <item>\<#51FD\>\<#6570\>\<#5173\>\<#4E8E\>\<#76F4\>\<#7EBF\> <math|x=a>
      \<#8F74\>\<#5BF9\>\<#79F0\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#5173\>\<#4E8E\>\<#76F4\>\<#7EBF\>
      <math|x=a+T> \<#4E5F\>\<#8F74\>\<#5BF9\>\<#79F0\>.
    </enumerate-alpha>
  </problem>

  <section|\<#51F8\>\<#6027\>>

  <\problem>
    \<#82E5\>\<#51FD\>\<#6570\> <math|f<around*|(|x|)>>
    \<#5728\>\<#67D0\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#6709\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x<rsub|1>> \<#4E0E\> <math|x<rsub|2>>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#6709\>

    <\equation*>
      f<around*|(|<frac|x<rsub|1>+x<rsub|2>|2>|)>\<geqslant\><frac|f<around*|(|x<rsub|1>|)>+f<around*|(|x<rsub|2>|)>|2>
    </equation*>

    \<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#6C42\>\<#8BC1\>:
    \<#5BF9\>\<#8BE5\>\<#533A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#4EFB\>\<#610F\> <math|n>
    \<#4E2A\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#6709\>\<#4E0B\>\<#8FF0\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#6210\>\<#7ACB\>:

    <\equation*>
      f<around*|(|<frac|x<rsub|1>+x<rsub|2>+\<cdots\>+x<rsub|n>|n>|)>\<geqslant\><frac|f<around*|(|x<rsub|1>|)>+f<around*|(|x<rsub|2>|)>+\<cdots\>+f<around*|(|x<rsub|n>|)>|n>
    </equation*>
  </problem>

  <\problem>
    \<#6C42\>\<#8BC1\>: \<#5706\>\<#7684\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5185\>\<#63A5\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#5F62\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#6B63\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#5F62\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#6700\>\<#5927\>.
  </problem>

  <chapter|\<#6570\>\<#5217\>>

  \;

  \<#7B49\>\<#5DEE\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#7B49\>\<#6BD4\>\<#6570\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#6570\>\<#5217\>\<#6C42\>\<#548C\>.

  <section|\<#7B49\>\<#5DEE\>\<#6570\>\<#5217\>>

  <\problem>
    \;

    (1) \<#5229\>\<#7528\>\<#5012\>\<#5E8F\>\<#76F8\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#516C\>\<#5F0F\>:
    <math|1+2+\<cdots\>+n=<frac|1|2>n<around*|(|n+1|)>>.

    (2) \<#5229\>\<#7528\>(1)\<#7684\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#63A8\>\<#5BFC\>\<#7B49\>\<#5DEE\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#524D\>
    <math|n> \<#9879\>\<#548C\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#5229\>\<#7528\>\<#5012\>\<#5E8F\>\<#76F8\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#63A8\>\<#5BFC\>\<#4E4B\>.

    (3) \<#5229\>\<#7528\>\<#5012\>\<#5E8F\>\<#76F8\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#6C42\>\<#548C\>
    <math|S<rsub|n>=0C<rsub|n><rsup|0>+1C<rsub|n><rsup|1>+2C<rsub|n><rsup|2>+\<cdots\>+n
    C<rsub|n><rsup|n>>.

    (4) \<#6C42\>\<#548C\> <math|S<rsub|n>=0<rsup|2>C<rsub|n><rsup|0>+1<rsup|2>C<rsub|n><rsup|1>+2<rsup|2>C<rsub|n><rsup|2>+\<cdots\>+n<rsup|2>
    C<rsub|n><rsup|n>>

    (5) \<#8BBE\> <math|S<around*|(|n,m|)>=0<rsup|m>C<rsub|n><rsup|0>+><math|1<rsup|m>C<rsub|n><rsup|1>+2<rsup|m>C<rsub|n><rsup|2>+\<cdots\>+n<rsup|m>
    C<rsub|n><rsup|n>>\<#FF0C\>\<#8BD5\>\<#5EFA\>\<#7ACB\>
    <math|S<around*|(|n,m|)>> \<#5173\>\<#4E8E\> <math|m>
    \<#7684\>\<#9012\>\<#63A8\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#5F0F\>.
  </problem>

  <\problem>
    \;

    (1). \<#5229\>\<#7528\>\<#516C\>\<#5F0F\>
    <math|<around*|(|k+1|)><rsup|2>-k<rsup|2>=2k+1>
    \<#63A8\>\<#5BFC\>\<#6C42\>\<#548C\>\<#516C\>\<#5F0F\>
    <math|1+2+\<cdots\>+n=<frac|1|2>n<around*|(|n+1|)>>.

    (2). \<#4F7F\>\<#7528\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#6CD5\>\<#63A8\>\<#5BFC\>\<#6C42\>\<#548C\>\<#516C\>\<#5F0F\>:
    <math|1<rsup|2>+2<rsup|2>+\<cdots\>+n<rsup|2>=<frac|1|6>n<around*|(|n+1|)><around*|(|2n+1|)>>.

    (3). \<#4F7F\>\<#7528\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#6CD5\>\<#63A8\>\<#5BFC\>\<#6C42\>\<#548C\>\<#516C\>\<#5F0F\>:
    <math|1<rsup|3>+2<rsup|3>+\<cdots\>+n<rsup|3>=<frac|1|4>n<rsup|2><around*|(|n+1|)><rsup|2>>.

    (4). \<#8BBE\> <math|S<around*|(|n,m|)>=1<rsup|m>+2<rsup|m>+\<cdots\>+n<rsup|m><around*|(|m
    \<in\><with|math-font|Bbb*|N<rsup|+>>|)>>\<#FF0C\>\<#8BD5\>\<#5EFA\>\<#7ACB\>
    <math|S<around*|(|n,m|)>> \<#5173\>\<#4E8E\> <math|m>
    \<#7684\>\<#9012\>\<#63A8\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#5173\>\<#4E8E\>
    <math|n> \<#7684\> <math|m+1> \<#6B21\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>.
  </problem>

  <section|\<#7B49\>\<#6BD4\>\<#6570\>\<#5217\>>

  <\problem>
    \;

    (1). \<#5229\>\<#7528\>\<#9519\>\<#4F4D\>\<#76F8\>\<#51CF\>\<#6CD5\>\<#63A8\>\<#5BFC\>\<#7B49\>\<#6BD4\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#524D\>
    <math|n> \<#9879\>\<#548C\>\<#516C\>\<#5F0F\>.

    (2). \<#5229\>\<#7528\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#5F52\>\<#7EB3\>\<#6CD5\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#5229\>\<#7528\>\<#5B83\>\<#63A8\>\<#5BFC\>\<#7B49\>\<#6BD4\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#524D\>
    <math|n> \<#9879\>\<#548C\>\<#516C\>\<#5F0F\>:

    <\equation*>
      a<rsup|n>-b<rsup|n>=<around*|(|a-b|)><around*|(|a<rsup|n-1>+a<rsup|n-2>b+\<cdots\>+a
      b<rsup|n-2>+b<rsup|n-1>|)>
    </equation*>

    \ \ \ \ \ 

    (3). \<#6C42\>\<#548C\> <math|S<rsub|n>=1<rsup|2>q+2<rsup|2>q<rsup|2>+\<cdots\>+n<rsup|2>q<rsup|n>>.
    \<#5176\>\<#4E2D\><math|q\<neq\>1>. (\<#63D0\>\<#793A\>\<#FF1A\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#4F7F\>\<#7528\>\<#4E24\>\<#6B21\>\<#9519\>\<#4F4D\>\<#76F8\>\<#51CF\>).

    (4). \<#5173\>\<#4E8E\>\<#6C42\>\<#548C\>
    <math|S<rsub|n>=1<rsup|m>q+2<rsup|m>q<rsup|2>+\<cdots\>+n<rsup|m>q<rsup|n>>
    \<#4F60\>\<#6709\>\<#4EC0\>\<#4E48\>\<#60F3\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#80FD\>\<#5426\>\<#5EFA\>\<#7ACB\>\<#8D77\>\<#5B83\>\<#5173\>\<#4E8E\>
    <math|m> \<#7684\>\<#9012\>\<#63A8\>\<#5173\>\<#7CFB\>?
    \<#8FD9\>\<#91CC\> <math|m> \<#662F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>,<math|q\<neq\>1>.

    (5). \<#5173\>\<#4E8E\>\<#6C42\>\<#548C\>
    <math|S<rsub|n>=f<around*|(|1|)>q+f<around*|(|2|)>q<rsup|2>+\<cdots\>+f<around*|(|n|)>q<rsup|n>>
    \<#4F60\>\<#6709\>\<#4EC0\>\<#4E48\>\<#60F3\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>
    <math|f<around*|(|x|)>> \<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>.
  </problem>

  \;

  <\problem>
    \<#8BBE\>\<#6570\>\<#5217\> <math|<around*|{|a<rsub|n>|}><around*|(|n=1,2,\<ldots\>|)>>
    \<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\> <math|n>
    \<#90FD\>\<#6210\>\<#7ACB\> <math|a<rsub|n>\<gtr\>a<rsub|n+1>>.

    (1). \<#8BBE\> <math|A<rsub|n>=<frac|1|n><around*|(|a<rsub|1>+a<rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#6C42\>\<#8BC1\>:
    \<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|n>\<#FF0C\>\<#6709\> <math|A<rsub|n>\<gtr\>A<rsub|n+1>>.

    (2). \<#5982\>\<#679C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#6240\>\<#6709\>\<#9879\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#6C42\>\<#8BC1\>:\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\><math|n>,\<#6709\>
    <math|G<rsub|n>\<gtr\>G<rsub|n+1>> \<#548C\>
    <math|H<rsub|n>\<gtr\>H<rsub|n+1>>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E2D\>
    <math|G<rsub|n>> \<#548C\> <math|H<rsub|n>>
    \<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5982\>\<#4E0B\>:

    <\equation*>
      G<rsub|n>=<sqrt|a<rsub|1>a<rsub|2>\<cdots\>a<rsub|n>|n>,<space|1spc>H<rsub|n>=<frac|n|<frac|1|a<rsub|1>>+<frac|1|a<rsub|2>>+\<cdots\>+<frac|1|a<rsub|n>>>
    </equation*>
  </problem>

  \;

  <\problem>
    (1). \<#8BC1\>\<#660E\>: <math|<frac|1|n+1>+<frac|1|n+2>+\<cdots\>+<frac|1|2n>\<gtr\><frac|1|2>.>

    (2). \<#5229\>\<#7528\> (1) \<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|S<rsub|n>=1+<frac|1|2>+\<cdots\>+<frac|1|n>>
    \<#80FD\>\<#591F\>\<#5927\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|M>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\> <math|n> \<#8DB3\>\<#591F\>\<#5927\>.

    (3). \<#8BC1\>\<#660E\>: <math|<frac|1|2<rsup|m>+1>+<frac|1|2<rsup|m>+2>+\<cdots\>+<frac|1|2<rsup|m+1>>\<gtr\><frac|1|2>>.

    (4). \<#5229\>\<#7528\> (3) \<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|S<rsub|n>=1+<frac|1|2>+\<cdots\>+<frac|1|n>>
    \<#80FD\>\<#591F\>\<#5927\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|M>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\> <math|n> \<#8DB3\>\<#591F\>\<#5927\>.
  </problem>

  \;

  <\problem>
    \<#8BBE\> <math|a<rsub|n>=<frac|1|n><around*|(|1+<frac|1|2>+\<cdots\>+<frac|1|n>|)>>\<#FF0C\>\<#8BC1\>\<#660E\>:
    <math|a<rsub|n>\<gtr\>a<rsub|n+1>>.
  </problem>

  <chapter|\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E0E\>\<#590D\>\<#6570\>>

  \;

  \<#548C\>\<#5DEE\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#FF0C\>\<#5206\>\<#89E3\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#5185\>\<#79EF\>

  \<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#56DB\>\<#5219\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#FF0C\>\<#68E3\>\<#6A21\>\<#5F17\>\<#5B9A\>\<#7406\>

  <\problem>
    (1) \<#8BBE\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <math|\<b-a\>=<around*|(|x,y|)>>,\<#6CBF\>\<#5750\>\<#6807\>\<#8F74\>\<#65B9\>\<#5411\>\<#7684\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#5206\>\<#522B\>\<#662F\>
    <math|\<b-i\>> \<#548C\> <math|\<b-j\>>,\<#6C42\>\<#8BC1\>:
    <math|\<b-a\>=<around*|(|\<b-a\>\<cdot\>\<b-i\>|)>\<b-i\>+<around*|(|\<b-a\>\<cdot\>\<b-j\>|)>\<b-j\>>.
  </problem>

  <chapter|\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>>

  <section|\<#5747\>\<#503C\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>>

  <\theorem>
    \<#8BBE\> <math|a\<gtr\>0>, <math|b\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#8BB0\>

    <\equation*>
      H=<frac|2|<frac|1|a>+<frac|1|b>>,<space|1spc>G=<sqrt|a
      b>,<space|1spc>A=<frac|a+b|2>,<space|1spc>Q=<sqrt|<frac|a<rsup|2>+b<rsup|2>|2>>
    </equation*>

    \<#5219\>\<#6709\> <math|H\<leqslant\>G\<leqslant\>A\<leqslant\>Q>
    \<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#90FD\>\<#4EC5\>\<#5728\>
    <math|a=b> \<#65F6\>\<#6210\>\<#7ACB\>.\<#79F0\> <math|H>
    \<#662F\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8C03\>\<#548C\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#6570\>\<#FF0C\><math|G>
    \<#662F\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#7684\>\<#51E0\>\<#4F55\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#6570\>\<#FF0C\><math|A>
    \<#662F\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#7684\>\<#7B97\>\<#672F\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#6570\>\<#FF0C\><math|Q>
    \<#662F\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5E73\>\<#65B9\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#6570\>.
  </theorem>

  <\problem>
    \<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\> <math|x\<neq\>0>\<#FF0C\>\<#6C42\>\<#8BC1\>:
    <math|<around*|\||x+<frac|1|x>|\|>\<geqslant\>2>.
    \<#4F60\>\<#80FD\>\<#60F3\>\<#5230\>\<#7684\>\<#6700\>\<#7B80\>\<#4FBF\>\<#7684\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#662F\>\<#4EC0\>\<#4E48\>?
  </problem>

  <\problem>
    \;

    (1). \<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8C03\>\<#548C\>\<#3001\>\<#51E0\>\<#4F55\>\<#3001\>\<#7B97\>\<#672F\>\<#3001\>\<#5E73\>\<#65B9\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#5177\>\<#6709\>\<#5F62\>\<#5F0F\>
    <math|f<rsup|-1><around*|(|<frac|f<around*|(|a|)>+f<around*|(|b|)>|2>|)>>
    \<#7684\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#8BF7\>\<#6307\>\<#51FA\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#79CD\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#6570\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around*|(|x|)>>.

    (2). \<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#56DB\>\<#79CD\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#6570\>\<#65E2\>\<#7136\>\<#7531\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around*|(|x|)>> \<#6240\>\<#51B3\>\<#5B9A\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#7684\>\<#5927\>\<#5C0F\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#81EA\>\<#7136\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#7531\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#51B3\>\<#5B9A\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#56FE\>\<#8C61\>\<#4E0A\>\<#770B\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#56DB\>\<#4E2A\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5927\>\<#5C0F\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#4F53\>\<#73B0\>\<#4E86\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#56DB\>\<#4E2A\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4EC0\>\<#4E48\>\<#7279\>\<#6027\>?

    (3). \<#4F60\>\<#80FD\>\<#5426\>\<#5229\>\<#7528\>\<#5176\>\<#5B83\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6784\>\<#5EFA\>\<#51FA\>\<#51E0\>\<#79CD\>\<#5173\>\<#4E8E\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#5C06\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#52A0\>\<#5165\>\<#5230\>\<#5747\>\<#503C\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#94FE\>\<#4E2D\>?
  </problem>

  <\problem>
    \<#8BF7\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF1A\>\<#5728\>\<#5300\>\<#53D8\>\<#901F\>\<#76F4\>\<#7EBF\>\<#8FD0\>\<#52A8\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#4E00\>\<#6BB5\>\<#65F6\>\<#95F4\>\<#5185\>\<#7684\>\<#4E2D\>\<#95F4\>\<#4F4D\>\<#79FB\>\<#5904\>\<#7684\>\<#77AC\>\<#65F6\>\<#901F\>\<#5EA6\>\<#FF0C\>\<#5927\>\<#4E8E\>\<#4E2D\>\<#95F4\>\<#65F6\>\<#523B\>\<#5904\>\<#7684\>\<#77AC\>\<#65F6\>\<#901F\>\<#5EA6\>.
  </problem>

  <\problem>
    \<#8BC1\>\<#660E\>\<#67EF\>\<#897F\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4E24\>\<#7EC4\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|a<rsub|i><around*|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>> \<#548C\>
    <math|b<rsub|i><around*|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>\<#FF0C\>\<#8BC1\>\<#660E\>

    <\equation*>
      <around*|(|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>a<rsub|i>b<rsub|i>|)><rsup|2>\<leqslant\><around*|(|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>a<rsub|i><rsup|2>|)><around*|(|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>b<rsub|i><rsup|2>|)>
    </equation*>

    \<#5E76\>\<#4E14\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#4EC5\>\<#5728\>\<#4E24\>\<#7EC4\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#6210\>\<#6BD4\>\<#4F8B\>\<#65F6\>\<#53D6\>\<#5F97\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<lambda\>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|a<rsub|i>=\<lambda\>b<rsub|i><around*|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>
    \<#6210\>\<#7ACB\>.
  </problem>

  <\problem>
    \<#8BC1\>\<#660E\>\<#95F5\>\<#53EF\>\<#592B\>\<#65AF\>\<#57FA\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4E24\>\<#7EC4\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|a<rsub|i><around*|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>> \<#548C\>
    <math|b<rsub|i><around*|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>\<#FF0C\>\<#8BC1\>\<#660E\>

    <\equation*>
      <sqrt|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n><around*|(|a<rsub|i>+b<rsub|i>|)><rsup|2>>\<leqslant\><sqrt|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>a<rsub|i><rsup|2>>+<sqrt|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>b<rsub|i><rsup|2>>
    </equation*>

    \<#5E76\>\<#4E14\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#4EC5\>\<#5728\>\<#4E24\>\<#7EC4\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#6210\>\<#6B63\>\<#6BD4\>\<#4F8B\>\<#65F6\>\<#53D6\>\<#5F97\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6B63\>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#6570\>
    <math|\<lambda\>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|a<rsub|i>=\<lambda\>b<rsub|i><around*|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>
    \<#6210\>\<#7ACB\>.
  </problem>

  \;

  \;

  <chapter|\<#89E3\>\<#6790\>\<#51E0\>\<#4F55\>>

  \;

  \<#66F2\>\<#7EBF\>\<#4E0E\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#FF0C\>\<#76F4\>\<#7EBF\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#FF0C\>\<#5706\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#FF0C\>\<#53C2\>\<#6570\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#FF0C\>\<#692D\>\<#5706\>\<#FF0C\>\<#53CC\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#FF0C\>\<#629B\>\<#7269\>\<#7EBF\>.

  \;

  <\definition>
    \<#5728\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#76F4\>\<#89D2\>\<#5750\>\<#6807\>\<#7CFB\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#5750\>\<#6807\>\<#53D8\>\<#6362\>
    <math|<around*|(|x,y|)>\<rightarrow\><around*|(|x+a,y+b|)>>
    \<#79F0\>\<#4E3A\>\<#5E73\>\<#79FB\>\<#53D8\>\<#6362\>\<#FF0C\>\<#79F0\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <math|\<b-v\>=<around*|(|a,b|)>> \<#4E3A\>\<#5E73\>\<#79FB\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#FF1B\>\<#5750\>\<#6807\>\<#53D8\>\<#6362\>
    <math|<around*|(|x,y|)>\<rightarrow\><around*|(|\<lambda\>x,\<mu\>y|)>>
    \<#4E3A\>\<#4F38\>\<#7F29\>\<#53D8\>\<#6362\>\<#FF0C\><math|\<lambda\>>
    \<#548C\> <math|\<mu\>> \<#5206\>\<#522B\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#6A2A\>\<#5750\>\<#6807\>\<#4F38\>\<#7F29\>\<#56E0\>\<#5B50\>\<#548C\>\<#7EB5\>\<#5750\>\<#6807\>\<#4F38\>\<#7F29\>\<#56E0\>\<#5B50\>.
  </definition>

  \;

  <\problem>
    (1). \<#8BBE\>\<#67D0\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#5728\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#76F4\>\<#89D2\>\<#5750\>\<#6807\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#4E3A\>
    <math|f<around*|(|x,y|)>=0>\<#FF0C\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF1A\>\<#5C06\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#6309\>\<#7167\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <math|\<b-v\>=<around*|(|a,b|)>> \<#8FDB\>\<#884C\>\<#5E73\>\<#79FB\>\<#540E\>\<#6240\>\<#5F97\>\<#65B0\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#4E3A\>
    <math|f<around*|(|x-a,y-b|)>=0>.

    (2). \<#51FD\>\<#6570\> <math|y=f<around*|(|x|)>>
    \<#7684\>\<#56FE\>\<#8C61\>\<#6309\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <math|\<b-v\>=<around*|(|a,b|)>> \<#8FDB\>\<#884C\>\<#5E73\>\<#79FB\>\<#540E\>\<#7684\>\<#65B0\>\<#56FE\>\<#8C61\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#5F0F\>\<#662F\>\<#4EC0\>\<#4E48\>?

    (3). \<#5982\>\<#4F55\>\<#7531\>\<#4E8C\>\<#6B21\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|y=x<rsup|2>> \<#7ECF\>\<#5E73\>\<#79FB\>\<#548C\>\<#4F38\>\<#7F29\>\<#540E\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#4E8C\>\<#6B21\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|y=a x<rsup|2>+b x+c> ? \<#5E76\>\<#7814\>\<#7A76\>\<#5176\>\<#5BF9\>\<#79F0\>\<#8F74\>\<#548C\>\<#9876\>\<#70B9\>\<#662F\>\<#5982\>\<#4F55\>\<#8DDF\>\<#7740\>\<#53D8\>\<#6362\>\<#7684\>.
  </problem>

  \;

  <\problem>
    (1). \<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF1A\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7684\>\<#629B\>\<#7269\>\<#7EBF\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#76F8\>\<#4F3C\>\<#7684\>.

    (2). \<#8BC1\>\<#660E\>: \<#79BB\>\<#5FC3\>\<#7387\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#692D\>\<#5706\>\<#662F\>\<#76F8\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#79BB\>\<#5FC3\>\<#7387\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#53CC\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#4E5F\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#76F8\>\<#4F3C\>\<#7684\>.

    (3). \<#7EFC\>\<#5408\> (1) \<#4E0E\> (2)
    \<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#5706\>\<#9525\>\<#66F2\>\<#7EBF\>\<#7684\>\<#5F62\>\<#72B6\>\<#4E0E\>\<#79BB\>\<#5FC3\>\<#7387\>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#662F\>\<#4EC0\>\<#4E48\>\<#5173\>\<#7CFB\>?
  </problem>

  \;

  <\problem>
    (1). \<#6C42\>\<#7531\>\<#5706\> <math|x<rsup|2>+y<rsup|2>=1>
    \<#4F38\>\<#7F29\>\<#53D8\>\<#6362\>\<#4E3A\>\<#692D\>\<#5706\>
    <math|<frac|x<rsup|2>|a<rsup|2>>+<frac|y<rsup|2>|b<rsup|2>>=1>
    \<#7684\>\<#4F38\>\<#7F29\>\<#56E0\>\<#5B50\>.

    (2). \<#5E73\>\<#9762\>\<#4E0A\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#5F62\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>\<#5176\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#4E3A\>
    <math|S>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#7ECF\>\<#8FC7\>\<#4F38\>\<#7F29\>\<#53D8\>\<#6362\>
    <math|L<around*|(|\<lambda\>,\<mu\>|)>>
    \<#4E4B\>\<#540E\>\<#FF0C\>\<#65B0\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#5F62\>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#4E3A\>
    <math|S<rprime|'>>\<#FF0C\>\<#8BC1\>\<#660E\>:
    <math|S<rprime|'>=\<lambda\>\<mu\>S>.
    (\<#5E76\>\<#601D\>\<#8003\>\<#FF1A\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#56FE\>\<#5F62\>\<#6295\>\<#5F71\>\<#5230\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#4E0E\>\<#6295\>\<#5F71\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#6709\>\<#4EC0\>\<#4E48\>\<#5173\>\<#7CFB\>?)

    (3). \<#5229\>\<#7528\>\<#7956\>\<#77B0\>\<#539F\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#5C06\>
    (2) \<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#63A8\>\<#5E7F\>\<#5230\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#4E0A\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5177\>\<#6709\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#7684\>\<#56FE\>\<#5F62\>\<#4E0A\>.

    (4). \<#5229\>\<#7528\> (3) \<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#8BC1\>\<#660E\>:
    \<#957F\>\<#8F74\>\<#957F\>\<#4E3A\> <math|2a>\<#FF0C\>\<#77ED\>\<#8F74\>\<#957F\>\<#4E3A\>
    <math|2b> \<#7684\>\<#692D\>\<#5706\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#662F\>
    <math|S=\<pi\>a b>.
  </problem>

  \;

  <\problem>
    (1). \<#5982\>\<#679C\>\<#76F4\>\<#7EBF\> <math|l>
    \<#4E0E\>\<#66F2\>\<#7EBF\> <math|C> \<#5728\>\<#67D0\>\<#70B9\> <math|P>
    \<#5904\>\<#76F8\>\<#5207\>\<#FF0C\>\<#8BC1\>\<#660E\>:
    \<#5728\>\<#7ECF\>\<#8FC7\>\<#4F38\>\<#7F29\>\<#53D8\>\<#6362\>
    <math|L<around*|(|\<lambda\>,\<mu\>|)>>
    \<#53D8\>\<#6362\>\<#4E4B\>\<#540E\>\<#7684\>\<#65B0\>\<#76F4\>\<#7EBF\>
    <math|l<rprime|'>> \<#4E0E\>\<#65B0\>\<#66F2\>\<#7EBF\>
    <math|C<rprime|'>> \<#4E5F\>\<#76F8\>\<#5207\>\<#4E8E\>
    <math|P<rprime|'>> \<#70B9\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>
    <math|P<rprime|'>> \<#662F\>\<#70B9\> <math|P>
    \<#5728\>\<#53D8\>\<#6362\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#50CF\>\<#70B9\>.

    (2). \<#5229\>\<#7528\> (1) \<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#63A8\>\<#5BFC\>\<#692D\>\<#5706\>\<#5728\>\<#5176\>\<#4E0A\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#70B9\>\<#5904\>\<#7684\>\<#5207\>\<#7EBF\>\<#65B9\>\<#7A0B\>.
  </problem>

  \;

  <\problem>
    \<#FF08\>1\<#FF09\> \<#8BBE\>\<#70B9\> <math|P>
    \<#5728\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#76F4\>\<#89D2\>\<#5750\>\<#6807\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#5750\>\<#6807\>\<#662F\>
    <math|<around*|(|x,y|)>>\<#FF0C\>\<#73B0\>\<#5C06\>\<#5750\>\<#6807\>\<#8F74\>\<#7ED5\>\<#539F\>\<#70B9\>\<#9006\>\<#65F6\>\<#9488\>\<#65CB\>\<#8F6C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#89D2\>\<#5EA6\>
    <math|\<theta\>>\<#FF0C\>\<#6C42\>\<#8BC1\>\<#FF1A\>\<#70B9\> <math|P>
    \<#5728\>\<#65B0\>\<#5750\>\<#6807\>\<#7CFB\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#5750\>\<#6807\>
    <math|<around*|(|x<rprime|'>,y<rprime|'>|)>> \<#4E3A\>

    <\equation*>
      <around*|{|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|x<rprime|'>=x
      cos\<theta\>+y sin\<theta\>>>|<row|<cell|y<rprime|'>=y cos\<theta\>-x
      sin\<theta\>>>>>>|\<nobracket\>>
    </equation*>

    \;

    (2) \<#5229\>\<#7528\> (1) \<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#63A8\>\<#5BFC\>\<#53CD\>\<#6BD4\>\<#4F8B\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|y=<frac|a|x><around*|(|a\<gtr\>0|)>>
    \<#7684\>\<#56FE\>\<#8C61\>\<#5728\>\<#5C06\>\<#5750\>\<#6807\>\<#8F74\>\<#7ED5\>\<#539F\>\<#70B9\>\<#9006\>\<#65F6\>\<#9488\>\<#65CB\>\<#8F6C\>
    <math|45<rsup|\<circ\>>> \<#540E\>\<#7684\>\<#65B0\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#53CC\>\<#66F2\>\<#7EBF\>.

    (3). \<#9009\>\<#62E9\>\<#6070\>\<#5F53\>\<#7684\>\<#65CB\>\<#8F6C\>\<#53D8\>\<#6362\>
    <math|R<around*|(|\<theta\>|)>>\<#FF0C\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|y=x+<frac|a|x><around*|(|a\<neq\>0|)>>
    \<#7684\>\<#56FE\>\<#8C61\>\<#662F\>\<#53CC\>\<#66F2\>\<#7EBF\>.
  </problem>

  \;

  <\problem>
    \<#8BBE\>\<#629B\>\<#7269\>\<#7EBF\> <math|C>: <math|y<rsup|2>=2p
    x<around*|(|p\<gtr\>0|)>>\<#FF0C\>\<#8FC7\>\<#5B9A\>\<#70B9\>
    <math|K<around*|(|2p\<nocomma\>,0|)>> \<#7684\>\<#76F4\>\<#7EBF\>
    <math|l> \<#4E0E\>\<#629B\>\<#7269\>\<#7EBF\> <math|C> \<#4EA4\>\<#4E8E\>
    <math|A>\<#3001\><math|B> \<#4E24\>\<#70B9\>. <math|O>
    \<#4E3A\>\<#5750\>\<#6807\>\<#7CFB\>\<#539F\>\<#70B9\>.
    \<#6C42\>\<#8BC1\>: <math|O A\<perp\>O B>.
  </problem>

  <chapter|\<#7ACB\>\<#4F53\>\<#51E0\>\<#4F55\>>

  \;

  \<#7A7A\>\<#95F4\>\<#5411\>\<#91CF\>,\<#76F4\>\<#7EBF\>\<#4E0E\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#7684\>\<#516C\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#7EBF\>\<#7EBF\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#FF0C\>\<#5F02\>\<#9762\>\<#76F4\>\<#7EBF\>\<#FF0C\>\<#7EBF\>\<#9762\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#FF0C\>\<#9762\>\<#9762\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#FF0C\>\<#68F1\>\<#67F1\>\<#FF0C\>\<#68F1\>\<#9525\>\<#FF0C\>\<#56DB\>\<#9762\>\<#4F53\>.

  <\problem>
    \<#7531\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E2D\>\<#4E00\>\<#70B9\> <math|O>
    \<#5F15\>\<#51FA\>\<#4E09\>\<#6761\>\<#5C04\>\<#7EBF\> <math|O
    A>\<#3001\><math|O B>\<#3001\><math|O C>
    \<#6240\>\<#5F97\>\<#56FE\>\<#5F62\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#4E09\>\<#9762\>\<#89D2\>\<#FF0C\>\<#4E09\>\<#6761\>\<#5C04\>\<#7EBF\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#4E09\>\<#9762\>\<#89D2\>\<#7684\>\<#68F1\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#4E09\>\<#9762\>\<#89D2\>\<#6709\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#5C04\>\<#7EBF\>\<#5939\>\<#89D2\>\<#4E0E\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#4E8C\>\<#9762\>\<#89D2\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#5C04\>\<#7EBF\>
    <math|O A> \<#4E3A\>\<#68F1\>\<#7684\>\<#4E8C\>\<#9762\>\<#89D2\>\<#8BB0\>\<#4E3A\>
    <math|\<alpha\>>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#5C04\>\<#7EBF\> <math|O B>
    \<#4E3A\>\<#68F1\>\<#7684\>\<#4E8C\>\<#9762\>\<#89D2\>\<#8BB0\>\<#4E3A\>
    <math|\<beta\>>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#5C04\>\<#7EBF\> <math|O C>
    \<#4E3A\>\<#68F1\>\<#7684\>\<#4E8C\>\<#9762\>\<#89D2\>\<#8BB0\>\<#4E3A\>
    <math|\<gamma\>>.

    (1) \<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#9762\>\<#7684\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#5B9A\>\<#7406\>:\ 

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|cos\<angle\>A O
      B>|<cell|=>|<cell|cos\<angle\>A O C cos\<angle\>B O C+sin\<angle\> A O
      C sin\<angle\> B O C cos\<gamma\>>>|<row|<cell|cos\<angle\>B O
      C>|<cell|=>|<cell|cos\<angle\>B O A cos\<angle\>C O A+sin\<angle\> B O
      A sin\<angle\> C O A cos\<alpha\>>>|<row|<cell|cos\<angle\>C O
      A>|<cell|=>|<cell|cos\<angle\>C O B cos\<angle\>A O B+sin\<angle\> C O
      B sin\<angle\> A O B cos\<beta\>>>>>
    </eqnarray*>

    \<#5E76\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#7684\>\<#548C\>\<#5DEE\>\<#89D2\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#7EC4\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#7279\>\<#6B8A\>\<#60C5\>\<#51B5\>.

    (2). \<#5728\>\<#4E8C\>\<#9762\>\<#89D2\> <math|A-O K-B>
    \<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#8BBE\> <math|\<angle\>A O
    K=\<alpha\>>\<#FF0C\><math|\<angle\>B O
    K=\<beta\>>\<#FF0C\><math|\<angle\>A O
    B=\<gamma\>>\<#FF0C\>\<#4E8C\>\<#9762\>\<#89D2\>\<#7684\>\<#5927\>\<#5C0F\>\<#4E3A\>
    <math|\<theta\>>\<#FF0C\>\<#8BC1\>\<#660E\>

    <\equation*>
      cos\<gamma\>=cos\<alpha\> cos\<beta\>+sin\<alpha\> sin\<beta\>
      cos\<theta\>
    </equation*>

    \<#5C24\>\<#5176\>\<#5728\> <math|\<theta\>=<frac|\<pi\>|2>>
    \<#5373\>\<#76F4\>\<#4E8C\>\<#9762\>\<#89D2\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#7B80\>\<#5316\>\<#4E3A\>
    <math|cos\<gamma\>=cos\<alpha\> cos\<beta\>>.
  </problem>

  <chapter|\<#6392\>\<#5217\>\<#3001\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#4E0E\>\<#4E8C\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#5B9A\>\<#7406\>>

  \;

  <\problem>
    \;

    (1). \<#6C42\>\<#65B9\>\<#7A0B\> <math|x<rsub|1>+x<rsub|2>+\<cdots\>+x<rsub|n>=m
    <around*|(|m\<geqslant\>n|)>> \<#7684\>\<#975E\>\<#8D1F\>\<#6574\>\<#6570\>\<#89E3\>\<#7684\>\<#4E2A\>\<#6570\>.

    (2). \<#6C42\>\<#65B9\>\<#7A0B\> <math|x<rsub|1>+x<rsub|2>+\<cdots\>+x<rsub|n>=m
    <around*|(|m\<geqslant\>n|)>> \<#7684\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>\<#89E3\>\<#7684\>\<#4E2A\>\<#6570\>.
    (\<#63D0\>\<#793A\>: \<#4EE4\> <math|y<rsub|i>=x<rsub|i>-1>
    \<#5E76\>\<#5229\>\<#7528\> (1) \<#7684\>\<#7ED3\>\<#679C\>)
  </problem>

  \;

  <\problem>
    \<#8BC1\>\<#660E\>: <math|<around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>\<less\>3>.
  </problem>

  <chapter|\<#6781\>\<#9650\>\<#4E0E\>\<#5BFC\>\<#6570\>>

  \;

  <\problem>
    <\enumerate-numeric>
      <item>\<#8BC1\>\<#660E\>: \<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5B9E\>\<#6570\>
      <math|x>\<#FF0C\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>
      <math|<with|math-font-family|rm|e><rsup|x>\<geqslant\>1+x>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#4EC5\>\<#5728\>
      <math|x=0> \<#65F6\>\<#6210\>\<#7ACB\>.

      <item>\<#8BC1\>\<#660E\>: \<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>
      <math|x\<gtr\>-1>\<#FF0C\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>
      <math|ln<around*|(|1+x|)>\<less\>x>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#4EC5\>\<#5728\>
      <math|x=0> \<#65F6\>\<#6210\>\<#7ACB\>.\<#5E76\>\<#7531\>\<#6B64\>\<#63A8\>\<#51FA\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>
      <math|ln<around*|(|1+<frac|1|n>|)>\<less\><frac|1|n>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>
      <math|n> \<#662F\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>.

      <item>\<#8BC1\>\<#660E\>: \<#5BF9\> <math|x\<gtr\>1>
      \<#6210\>\<#7ACB\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\> <math|ln
      x\<less\><frac|1|2><around*|(|x-<frac|1|x>|)>>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#7531\>\<#6B64\>\<#63A8\>\<#51FA\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>
      <math|ln<around*|(|1+<frac|1|n>|)>\<less\><frac|1|2><around*|(|<frac|1|n>+<frac|1|n+1>|)>>.
    </enumerate-numeric>
  </problem>

  \;

  <\problem>
    <\enumerate-numeric>
      <item>\<#8BBE\>\<#5B9E\>\<#6570\> <math|x\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>
      <math|<frac|x|1+x>\<less\>ln<around*|(|1+x|)>\<less\>x>.

      <item>\<#8BC1\>\<#660E\>: \<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
      <math|n> \<#6210\>\<#7ACB\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>
      <math|<frac|1|n+1>\<less\>ln<around*|(|1+<frac|1|n>|)>\<less\><frac|1|n>>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#7531\>\<#6B64\>\<#8BC1\>\<#660E\>\ 

      <\equation*>
        ln<around*|(|n+1|)>\<less\>1+<frac|1|2>+\<cdots\>+<frac|1|n>\<less\>1+ln
        n
      </equation*>

      <item>\<#8BBE\> <math|b\<gtr\>a\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>
      <math|a\<less\><frac|a-b|ln a-ln b>\<less\>b>.
      \<#8BE5\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#79F0\>\<#4E3A\>
      <math|a> \<#4E0E\> <math|b> \<#7684\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#5E73\>\<#5747\>\<#6570\>.

      <item>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5BF9\>\<#6570\>\<#5747\>\<#503C\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>:
      \<#8BBE\> <math|a\<gtr\>0,b\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4E14\>
      <math|a\<neq\>b>\<#FF0C\>\<#6709\>

      <\equation*>
        <sqrt|a b>\<less\><frac|a-b|ln a-ln b>\<less\><frac|a+b|2>
      </equation*>
    </enumerate-numeric>
  </problem>

  \;

  <\problem>
    \<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|n>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#5982\>\<#4E0B\>

    <\equation*>
      E<rsub|n><around*|(|x|)>=1+x+<frac|x<rsup|2>|2!>+\<cdots\>+<frac|x<rsup|n>|n!>\<nocomma\>,<space|1spc>L<rsub|n><around*|(|x|)>=x-<frac|x<rsup|2>|2>+<frac|x<rsup|3>|3>+\<cdots\>+<around*|(|-1|)><rsup|n-1><frac|x<rsup|n>|n>
    </equation*>

    <\enumerate-numeric>
      <item>\<#8BBE\> <math|x\<neq\>0>\<#FF0C\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF1A\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
      <math|n>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#6709\>
      <math|<with|math-font-family|rm|e><rsup|x>\<gtr\>E<rsub|n><around*|(|x|)>>.

      <item>\<#8BBE\> <math|x\<gtr\>0> \<#FF0C\>\<#8BC1\>\<#660E\>:
      \<#5F53\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\> <math|n>
      \<#662F\>\<#5947\>\<#6570\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#6709\> <math|ln
      <around*|(|1+x|)>\<less\>L<rsub|n><around*|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5F53\>
      <math|n> \<#662F\>\<#5076\>\<#6570\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#6709\><math|ln<around*|(|1+x|)>\<gtr\>L<rsub|n><around*|(|x|)>>.

      <item>\<#8BB0\>

      <\equation*>
        S<rsub|n><around*|(|x|)>=x-<frac|x<rsup|3>|3!>+\<cdots\>+<around*|(|-1|)><rsup|n><frac|x<rsup|2n+1>|<around*|(|2n+1|)>!>,<space|1spc>C<rsub|n><around*|(|x|)>=1-<frac|x<rsup|2>|2!>+\<cdots\>+<around*|(|-1|)><rsup|n-1><frac|x<rsup|2n>|<around*|(|2n|)>!>
      </equation*>

      \<#5219\>\<#5F53\> <math|x\<gtr\>0> \<#65F6\>\<#FF0C\>\<#82E5\>
      <math|n> \<#4E3A\>\<#5076\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\> <math|sin
      x\<gtr\>S<rsub|n><around*|(|x|)>> \<#5E76\>\<#4E14\> <math|cos
      x\<less\>C<rsub|n><around*|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#53CD\>\<#4E4B\>\<#82E5\>
      <math|n> \<#4E3A\>\<#5947\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\> <math|sin
      x\<less\>S<rsub|n><around*|(|x|)>> \<#5E76\>\<#4E14\> <math|cos
      x\<gtr\>C<rsub|n><around*|(|x|)>>.
    </enumerate-numeric>
  </problem>

  \;

  <\solution*>
    (1).\<#4EE4\><math|f<rsub|n><around*|(|x|)>=<with|math-font-family|rm|e><rsup|x>-E<rsub|n><around*|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>
    <math|f<rsub|n><around*|(|0|)>=0>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>
    <math|E<rsub|n+1><rprime|'><around*|(|x|)>=E<rsub|n><around*|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#7528\>\<#5F52\>\<#7EB3\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#5F53\>
    <math|n=1> \<#65F6\>\<#FF0C\><math|f<rsub|1><rprime|'><around*|(|x|)>=<with|math-font-family|rm|e><rsup|x>-E<rsub|1><rprime|'><around*|(|x|)>=<with|math-font-family|rm|e><rsup|x>-1>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#5F53\>
    <math|x\<gtr\>0> \<#65F6\> <math|f<rsub|1><rprime|'><around*|(|x|)>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#5373\>
    <math|f<rsub|1><around*|(|x|)>> \<#5728\>
    <math|<around*|[|0,+\<infty\>|)>> \<#4E0A\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5728\>
    <math|x\<less\>0> \<#65F6\> <math|f<rsub|1><rprime|'><around*|(|x|)>\<less\>0>\<#FF0C\><math|f<rsub|1><around*|(|x|)>>
    \<#5728\> <math|<around*|(|-\<infty\>,0|]>>
    \<#4E0A\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#51CF\>\<#5C11\>\<#FF0C\>\<#6545\>\<#65E0\>\<#8BBA\>
    <math|x> \<#7B26\>\<#53F7\>\<#5982\>\<#4F55\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|f<rsub|1><around*|(|x|)>\<gtr\>f<around*|(|0|)>=0>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|n=1> \<#65F6\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#6210\>\<#7ACB\>.

    \<#5047\>\<#5B9A\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|n> \<#4E5F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>
    <math|f<rsub|n+1><rprime|'><around*|(|x|)>=<with|math-font-family|rm|e><rsup|x>-E<rsub|n+1><rprime|'><around*|(|x|)>=<with|math-font-family|rm|e><rsup|x>-E<rsub|n><around*|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#5047\>\<#8BBE\>\<#53EF\>\<#77E5\>
    <math|f<rsub|n+1><rprime|'><around*|(|x|)>\<gtr\>0>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|n+1> \<#4E5F\>\<#6210\>\<#7ACB\>.

    (2). \<#540C\>\<#6837\>\<#4F5C\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<around*|(|x|)>=ln<around*|(|1+x|)>-L<rsub|n><around*|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>
    <math|f<around*|(|0|)>=0> \<#4EE5\>\<#53CA\>

    <\equation*>
      L<rsub|n><rprime|'><around*|(|x|)>=1-x+x<rsup|2>-\<cdots\>+<around*|(|-x|)><rsup|n-1>=<frac|1-<around*|(|-x|)><rsup|n>|1+x>
    </equation*>

    \<#56E0\>\<#6B64\>

    <\equation*>
      f<rsub|n><rprime|'><around*|(|x|)>=<frac|1|1+x>-<frac|1-<around*|(|-x|)><rsup|n>|1+x>=<frac|<around*|(|-x|)><rsup|n>|1+x>
    </equation*>

    \<#7531\>\<#6B64\>\<#53EF\>\<#89C1\>\<#FF0C\>\<#82E5\> <math|n>
    \<#4E3A\>\<#5076\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<rsub|n><around*|(|x|)>> \<#5728\>
    <math|<around*|[|0,+\<infty\>|)>> \<#4E0A\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#589E\>\<#52A0\>\<#FF0C\>\<#53CD\>\<#4E4B\>\<#82E5\>
    <math|n> \<#4E3A\>\<#5947\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#662F\>\<#4E25\>\<#683C\>\<#51CF\>\<#5C11\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#7ED3\>\<#5408\>
    \ <math|f<rsub|n><around*|(|0|)>=0> \<#5373\>\<#5F97\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>.

    (3). \<#4ECD\>\<#7136\>\<#4F5C\>\<#51FD\>\<#6570\>
    <math|f<rsub|n><around*|(|x|)>=sin x-S<rsub|n><around*|(|x|)>> \<#4E0E\>
    <math|g<rsub|n><around*|(|x|)>=cos x-C<rsub|n><around*|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>
    <math|f<rsub|n><around*|(|0|)>=g<rsub|n><around*|(|0|)>=0>
    \<#4EE5\>\<#53CA\>

    <\equation*>
      f<rprime|'><around*|(|x|)>=g<rsub|n><around*|(|x|)>\<nocomma\>,<space|1spc>g<rsub|n><rprime|'><around*|(|x|)>=-f<rsub|n-1><around*|(|x|)>
    </equation*>

    \<#5BF9\>\<#4E8E\> <math|n=0,1> \<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#6B64\>\<#5904\>\<#7565\>\<#53BB\>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#5982\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|n> \<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|n+1> \<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#7531\>
    <math|g<rsub|n+1><rprime|'><around*|(|x|)>=-f<rsub|n><around*|(|x|)>>
    \<#5373\>\<#77E5\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#7531\>
    <math|f<rsub|n+1><rprime|'><around*|(|x|)>=g<rsub|n><around*|(|x|)>>
    \<#77E5\>\<#6B63\>\<#5F26\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#6210\>\<#7ACB\>.\<#4E8E\>\<#662F\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#6210\>\<#7ACB\>.
  </solution*>

  \;

  \;

  \;

  \;

  \;
</body>

<initial|<\collection>
</collection>>

<\references>
  <\collection>
    <associate|auto-1|<tuple|?|3>>
    <associate|auto-10|<tuple|3|21>>
    <associate|auto-11|<tuple|3.1|23>>
    <associate|auto-12|<tuple|3.2|?>>
    <associate|auto-13|<tuple|4|?>>
    <associate|auto-14|<tuple|5|?>>
    <associate|auto-15|<tuple|5.1|?>>
    <associate|auto-16|<tuple|6|?>>
    <associate|auto-17|<tuple|7|?>>
    <associate|auto-18|<tuple|8|?>>
    <associate|auto-19|<tuple|9|?>>
    <associate|auto-2|<tuple|1|7>>
    <associate|auto-3|<tuple|2|9>>
    <associate|auto-4|<tuple|2.1|11>>
    <associate|auto-5|<tuple|2.2|13>>
    <associate|auto-6|<tuple|2.3|15>>
    <associate|auto-7|<tuple|2.4|15>>
    <associate|auto-8|<tuple|2.5|17>>
    <associate|auto-9|<tuple|2.6|19>>
    <associate|montonicity-of-combined-func|<tuple|2.2|?>>
    <associate|montonicity-of-sum-of-x-and-a-over-x|<tuple|2.5|?>>
  </collection>
</references>

<\auxiliary>
  <\collection>
    <\associate|toc>
      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|\<#6458\>\<#8981\>>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-1><vspace|0.5fn>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|1<space|2spc>\<#9884\>\<#5907\>\<#77E5\>\<#8BC6\>>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-2><vspace|0.5fn>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|2<space|2spc>\<#51FD\>\<#6570\>>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-3><vspace|0.5fn>

      2.1<space|2spc>\<#590D\>\<#5408\>\<#51FD\>\<#6570\>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-4>

      2.2<space|2spc>\<#53CD\>\<#51FD\>\<#6570\>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-5>

      2.3<space|2spc>\<#5355\>\<#8C03\>\<#6027\>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-6>

      2.4<space|2spc>\<#5BF9\>\<#79F0\>\<#6027\>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-7>

      2.5<space|2spc>\<#5468\>\<#671F\>\<#6027\>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-8>

      2.6<space|2spc>\<#51F8\>\<#6027\> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-9>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|3<space|2spc>\<#6570\>\<#5217\>>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-10><vspace|0.5fn>

      3.1<space|2spc>\<#7B49\>\<#5DEE\>\<#6570\>\<#5217\>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-11>

      3.2<space|2spc>\<#7B49\>\<#6BD4\>\<#6570\>\<#5217\>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-12>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|4<space|2spc>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E0E\>\<#590D\>\<#6570\>>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-13><vspace|0.5fn>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|5<space|2spc>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-14><vspace|0.5fn>

      5.1<space|2spc>\<#5747\>\<#503C\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-15>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|6<space|2spc>\<#89E3\>\<#6790\>\<#51E0\>\<#4F55\>>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-16><vspace|0.5fn>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|7<space|2spc>\<#7ACB\>\<#4F53\>\<#51E0\>\<#4F55\>>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-17><vspace|0.5fn>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|8<space|2spc>\<#6392\>\<#5217\>\<#3001\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#4E0E\>\<#4E8C\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#5B9A\>\<#7406\>>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-18><vspace|0.5fn>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|9<space|2spc>\<#6781\>\<#9650\>\<#4E0E\>\<#5BFC\>\<#6570\>>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-19><vspace|0.5fn>
    </associate>
  </collection>
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