mirror of https://gitee.com/XmacsLabs/planet.git
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<TeXmacs|2.1.3>
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<style|<tuple|book|chinese|old-spacing|old-dots|old-lengths>>
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<\body>
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<doc-data|<doc-title|高中数学问题集锦>|<doc-author|<author-data|<author-name|zhcosin>>>>
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<abstract-data|<abstract|>>
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写作这份习题集的动机是，受
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《吉米诺维奇数学分析习题集》
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的启发，同时对于中学数学的应试教育的不认同，而计划写作一份吉氏习题集的中学数学版本。
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中国的考试教育，以高考最甚，高中整整三年的数学学习，全奔着一张150分的试卷，以分数论英雄，如同奥运会上的竞技，有过之无不及。但是这三年中，学生的数学素养究竟提高了多少，却难说得很。
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我要说明一个现象，就是高考试题，有一个特点，就是它会故意避开有固定结论的东西，比如说，它会故意避开圆锥曲线的切线方程，会故意避开三面角的余弦定理，会故意避开线性递推数列的通项，而偏偏是这些内容，是最能够提升学生的数学素养的，也是最有学习价值的内容，为什么高考要故意避开它们呢，是因为高考要防止学校的课堂成为课外结论识记比赛，它的指挥棒效应太显著了，以至于你想在高考试卷中考察一个教材上的定理的证明都成为不可能的事情，所以高考试卷会特意避开这些有固定结论的内容，这样导致的结果就是高考试题不太容易引起学生的兴趣，进而对数学也没什么兴趣，这不能不说是一个遗憾。
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不过我并不是说高考该怎么怎么，高考成为现在这样是有原因的，我也无力改变，我只是希望为学生提供学习上的一种补充，通过这份习题集，引导学生学习研究一些有趣的知识和内容，便是我的目标。
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这份习题集在 https://coding.net/u/zhcosin/p/math-notes-publish
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上不定期更新.
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<\table-of-contents|toc>
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<vspace*|1fn><with|font-series|bold|math-font-series|bold|摘要>
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<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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<no-break><pageref|auto-1><vspace|0.5fn>
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<vspace*|1fn><with|font-series|bold|math-font-series|bold|1<space|2spc>预备知识>
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<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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<no-break><pageref|auto-2><vspace|0.5fn>
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<vspace*|1fn><with|font-series|bold|math-font-series|bold|2<space|2spc>函数>
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<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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<no-break><pageref|auto-3><vspace|0.5fn>
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2.1<space|2spc>复合函数 <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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<no-break><pageref|auto-4>
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||
2.2<space|2spc>反函数 <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
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<no-break><pageref|auto-5>
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||
2.3<space|2spc>单调性 <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
||
<no-break><pageref|auto-6>
|
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||
2.4<space|2spc>对称性 <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
||
<no-break><pageref|auto-7>
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||
2.5<space|2spc>周期性 <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
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<no-break><pageref|auto-8>
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||
2.6<space|2spc>凸性 <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
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<no-break><pageref|auto-9>
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<vspace*|1fn><with|font-series|bold|math-font-series|bold|3<space|2spc>数列>
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<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
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<no-break><pageref|auto-10><vspace|0.5fn>
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3.1<space|2spc>等差数列 <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
||
<no-break><pageref|auto-11>
|
||
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||
3.2<space|2spc>等比数列 <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
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<no-break><pageref|auto-12>
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<vspace*|1fn><with|font-series|bold|math-font-series|bold|4<space|2spc>向量与复数>
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<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
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<no-break><pageref|auto-13><vspace|0.5fn>
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<vspace*|1fn><with|font-series|bold|math-font-series|bold|5<space|2spc>不等式>
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<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
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<no-break><pageref|auto-14><vspace|0.5fn>
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||
5.1<space|2spc>均值不等式 <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
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<no-break><pageref|auto-15>
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<vspace*|1fn><with|font-series|bold|math-font-series|bold|6<space|2spc>解析几何>
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<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
||
<no-break><pageref|auto-16><vspace|0.5fn>
|
||
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<vspace*|1fn><with|font-series|bold|math-font-series|bold|7<space|2spc>立体几何>
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||
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
||
<no-break><pageref|auto-17><vspace|0.5fn>
|
||
|
||
<vspace*|1fn><with|font-series|bold|math-font-series|bold|8<space|2spc>排列、组合与二项式定理>
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||
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
||
<no-break><pageref|auto-18><vspace|0.5fn>
|
||
|
||
<vspace*|1fn><with|font-series|bold|math-font-series|bold|9<space|2spc>极限与导数>
|
||
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
||
<no-break><pageref|auto-19><vspace|0.5fn>
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</table-of-contents>
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<chapter|预备知识>
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\;
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数学归纳法.
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容斥原理.抽屉原理.整除理论.
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反证法.
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<\problem>
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||
证明正整数能被3整除的判定规则.
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</problem>
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\;
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<\problem>
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\;
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(1). 用数学归纳法证明以下公式:
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<\eqnarray*>
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<tformat|<table|<row|<cell|1+2+\<cdots\>+n>|<cell|=>|<cell|<frac|1|2>n<around*|(|n+1|)>>>|<row|<cell|1<rsup|2>+2<rsup|2>+\<cdots\>+n<rsup|2>>|<cell|=>|<cell|<frac|1|6>n<around*|(|n+1|)><around*|(|2n+1|)>>>|<row|<cell|1<rsup|3>+2<rsup|3>+\<cdots\>+n<rsup|3>>|<cell|=>|<cell|<frac|1|4>n<rsup|2><around*|(|n+1|)><rsup|2>>>>>
|
||
</eqnarray*>
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\;
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(2). 上述三个公式右边都出现了分式，请证明右边不可能出现小数（不得使用这三个公式的左边).
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</problem>
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<chapter|函数>
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函数的概念，复合函数，反函数.
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指数函数，对数函数，三角函数.
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函数的性质.
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<section|复合函数>
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\;
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<\problem>
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双曲函数的定义为:
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<\equation*>
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cosh x=<frac|<with|math-font-family|rm|e><rsup|x>+<with|math-font-family|rm|e><rsup|-x>|2>\<nocomma\>,<space|1spc>sinh
|
||
x=<frac|<with|math-font-family|rm|e><rsup|x>-<with|math-font-family|rm|e><rsup|-x>|2>,<space|1spc>tanh
|
||
x=<frac|sinh x|cosh x>
|
||
</equation*>
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||
分别称为双曲余弦函数、双曲正弦函数、双曲正切函数：
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(1). 讨论它们的奇偶性.
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(2). 验证公式: <math|cosh<rsup|2>x-sinh<rsup|2>x=1>.
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(3). 验证和差公式
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<\eqnarray*>
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<tformat|<table|<row|<cell|cosh<around*|(|x\<pm\>y|)>>|<cell|=>|<cell|cosh
|
||
x cosh y\<pm\>sinh x sinh y>>|<row|<cell|sinh<around*|(|x\<pm\>y|)>>|<cell|=>|<cell|sinh
|
||
x cosh y\<pm\>cosh x sinh y>>>>
|
||
</eqnarray*>
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\;
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||
(4) 验证倍半公式
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<\eqnarray*>
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<tformat|<table|<row|<cell|cosh <around*|(|2x|)>>|<cell|=>|<cell|2cosh
|
||
<rsup|2>x-1=cosh<rsup|2>x+sinh<rsup|2>x>>|<row|<cell|sinh<around*|(|2x|)>>|<cell|=>|<cell|2sinh
|
||
x cosh x>>>>
|
||
</eqnarray*>
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\;
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(5) 将上述公式与三角函数进行对比.
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</problem>
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<section|反函数>
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\;
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<section|单调性>
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<\problem>
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<label|montonicity-of-combined-func>函数 <math|f<around*|(|x|)>>
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||
在区间 <math|<around*|[|a,b|]>> 上并具备某种单调性，相应的值域为
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||
<math|<around*|[|r,s|]>>，函数 <math|g<around*|(|u|)>> 在区间
|
||
<math|<around*|[|r,s|]>> 上也具备某种单调性，试讨论这两个函数在相应区间上的单调性与复合函数
|
||
<math|g<around*|(|f<around*|(|x|)>|)>> 在区间 <math|<around*|[|a,b|]>>
|
||
上的单调性的关系.
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</problem>
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\;
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<\problem>
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设函数 <math|f<around*|(|x|)>> 在区间 <math|<around*|[|a,b|]>>
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||
上单调增加，证明: 它的反函数
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||
<math|f<rsup|-1><around*|(|x|)>> 在区间
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<math|<around*|[|f<around*|(|a|)>,f<around*|(|b|)>|]>> 上单调增加.
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||
</problem>
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\;
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||
<\problem>
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||
函数的单调性是否必须在区间上讨论，有没有可能在数集(如有理数集)上讨论，试举例说明之？
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</problem>
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\;
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<\problem>
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||
<label|montonicity-of-sum-of-x-and-a-over-x>设函数
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<math|f<around*|(|x|)>=x+<frac|a|x>>.
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||
(1). 证明: 若 <math|a\<gtr\>0>，则函数在
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<math|<around*|(|0,<sqrt|a>|)>> 上单调减少，在
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||
<math|<around*|(|<sqrt|a>,+\<infty\>|)>>
|
||
上单调增加.(不要使用导数)
|
||
|
||
(2). 证明: 若 <math|a\<less\>0>，则函数在区间
|
||
<math|<around*|(|-\<infty\>,0|)>> 和 <math|<around*|(|0,+\<infty\>|)>>
|
||
上单调增加.(不要使用导数)
|
||
</problem>
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||
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||
\;
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<\problem>
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||
讨论双曲余弦函数与双曲正弦函数的单调性.(提示：利用题目
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||
<reference|montonicity-of-combined-func>与题目<reference|montonicity-of-sum-of-x-and-a-over-x>的结果)
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</problem>
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<section|对称性>
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<\problem>
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||
证明: 任何一个定义域关于原点对称的函数，都可以被表示成一个奇函数与一个偶函数之和的形式.
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</problem>
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\;
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<\problem>
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||
(1). 证明：函数 <math|f<around*|(|x|)>> 的图象关于直线
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<math|x=a> 对称的充分必要条件是等式
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||
<math|f<around*|(|a+x|)>=f<around*|(|a-x|)>> 对定义域上任意实数
|
||
<math|x> 都成立.
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||
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||
(2). 证明：(1) 中的等式可以改写为
|
||
<math|f<around*|(|2a-x|)>=f<around*|(|x|)>>，结论仍然成立.
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||
</problem>
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\;
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<\problem>
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||
(1). 证明：函数 <math|f<around*|(|x|)>> 的图象关于点
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<math|<around*|(|a,b|)>> 中心对称的充分必要条件是等式
|
||
<math|f<around*|(|a+x|)>+f<around*|(|a-x|)>=2b>
|
||
对定义域上任意实数 <math|x> 都成立.
|
||
|
||
(2). 证明：(1) 中的等式可以改写为
|
||
<math|f<around*|(|2a-x|)>+f<around*|(|x|)>=2b>，结论仍然成立.
|
||
</problem>
|
||
|
||
<section|周期性>
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<\problem>
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||
周期函数是否一定存在最小正周期，若不一定，请举例说明.
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</problem>
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\;
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<\problem>
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||
证明：若函数满足下述条件之一，则它是周期函数，并且
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||
<math|2T> 是它的一个周期:
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<\enumerate-alpha>
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||
<item><math|f<around*|(|x+T|)>=-f<around*|(|x|)>>.
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||
|
||
<item><math|f<around*|(|x+T|)>=<frac|1|f<around*|(|x|)>>>.
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||
|
||
<item><math|f<around*|(|x+T|)>=-<frac|1|f<around*|(|x|)>>>
|
||
|
||
<item>函数关于直线 <math|x=a> 轴对称，并且关于直线
|
||
<math|x=a+T> 也轴对称.
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||
</enumerate-alpha>
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||
</problem>
|
||
|
||
<section|凸性>
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||
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||
<\problem>
|
||
若函数 <math|f<around*|(|x|)>> 在某区间上有定义，且对于该区间上任意两个实数
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||
<math|x<rsub|1>> 与 <math|x<rsub|2>>，都有
|
||
|
||
<\equation*>
|
||
f<around*|(|<frac|x<rsub|1>+x<rsub|2>|2>|)>\<geqslant\><frac|f<around*|(|x<rsub|1>|)>+f<around*|(|x<rsub|2>|)>|2>
|
||
</equation*>
|
||
|
||
成立，求证: 对该区间上任意 <math|n> 个不同的实数
|
||
<math|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>>，有下述不等式成立:
|
||
|
||
<\equation*>
|
||
f<around*|(|<frac|x<rsub|1>+x<rsub|2>+\<cdots\>+x<rsub|n>|n>|)>\<geqslant\><frac|f<around*|(|x<rsub|1>|)>+f<around*|(|x<rsub|2>|)>+\<cdots\>+f<around*|(|x<rsub|n>|)>|n>
|
||
</equation*>
|
||
</problem>
|
||
|
||
<\problem>
|
||
求证: 圆的所有内接三角形中，以正三角形的面积最大.
|
||
</problem>
|
||
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||
<chapter|数列>
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||
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\;
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||
等差数列，等比数列，数列求和.
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||
<section|等差数列>
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||
<\problem>
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||
\;
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||
(1) 利用倒序相加法证明公式:
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<math|1+2+\<cdots\>+n=<frac|1|2>n<around*|(|n+1|)>>.
|
||
|
||
(2) 利用(1)的结果推导等差数列的前 <math|n>
|
||
项和公式，再利用倒序相加法推导之.
|
||
|
||
(3) 利用倒序相加法求和 <math|S<rsub|n>=0C<rsub|n><rsup|0>+1C<rsub|n><rsup|1>+2C<rsub|n><rsup|2>+\<cdots\>+n
|
||
C<rsub|n><rsup|n>>.
|
||
|
||
(4) 求和 <math|S<rsub|n>=0<rsup|2>C<rsub|n><rsup|0>+1<rsup|2>C<rsub|n><rsup|1>+2<rsup|2>C<rsub|n><rsup|2>+\<cdots\>+n<rsup|2>
|
||
C<rsub|n><rsup|n>>
|
||
|
||
(5) 设 <math|S<around*|(|n,m|)>=0<rsup|m>C<rsub|n><rsup|0>+><math|1<rsup|m>C<rsub|n><rsup|1>+2<rsup|m>C<rsub|n><rsup|2>+\<cdots\>+n<rsup|m>
|
||
C<rsub|n><rsup|n>>，试建立 <math|S<around*|(|n,m|)>> 关于 <math|m>
|
||
的递推关系式.
|
||
</problem>
|
||
|
||
<\problem>
|
||
\;
|
||
|
||
(1). 利用公式 <math|<around*|(|k+1|)><rsup|2>-k<rsup|2>=2k+1>
|
||
推导求和公式 <math|1+2+\<cdots\>+n=<frac|1|2>n<around*|(|n+1|)>>.
|
||
|
||
(2). 使用类似的方法推导求和公式:
|
||
<math|1<rsup|2>+2<rsup|2>+\<cdots\>+n<rsup|2>=<frac|1|6>n<around*|(|n+1|)><around*|(|2n+1|)>>.
|
||
|
||
(3). 使用类似的方法推导求和公式:
|
||
<math|1<rsup|3>+2<rsup|3>+\<cdots\>+n<rsup|3>=<frac|1|4>n<rsup|2><around*|(|n+1|)><rsup|2>>.
|
||
|
||
(4). 设 <math|S<around*|(|n,m|)>=1<rsup|m>+2<rsup|m>+\<cdots\>+n<rsup|m><around*|(|m
|
||
\<in\><with|math-font|Bbb*|N<rsup|+>>|)>>，试建立
|
||
<math|S<around*|(|n,m|)>> 关于 <math|m>
|
||
的递推关系式，并证明它是关于 <math|n> 的 <math|m+1>
|
||
次多项式.
|
||
</problem>
|
||
|
||
<section|等比数列>
|
||
|
||
<\problem>
|
||
\;
|
||
|
||
(1). 利用错位相减法推导等比数列的前 <math|n> 项和公式.
|
||
|
||
(2). 利用数学归纳法证明以下公式，并利用它推导等比数列的前
|
||
<math|n> 项和公式:
|
||
|
||
<\equation*>
|
||
a<rsup|n>-b<rsup|n>=<around*|(|a-b|)><around*|(|a<rsup|n-1>+a<rsup|n-2>b+\<cdots\>+a
|
||
b<rsup|n-2>+b<rsup|n-1>|)>
|
||
</equation*>
|
||
|
||
\ \ \ \ \
|
||
|
||
(3). 求和 <math|S<rsub|n>=1<rsup|2>q+2<rsup|2>q<rsup|2>+\<cdots\>+n<rsup|2>q<rsup|n>>.
|
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其中<math|q\<neq\>1>. (提示：连续使用两次错位相减).
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||
(4). 关于求和 <math|S<rsub|n>=1<rsup|m>q+2<rsup|m>q<rsup|2>+\<cdots\>+n<rsup|m>q<rsup|n>>
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你有什么想法，能否建立起它关于 <math|m> 的递推关系?
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这里 <math|m> 是正整数,<math|q\<neq\>1>.
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(5). 关于求和 <math|S<rsub|n>=f<around*|(|1|)>q+f<around*|(|2|)>q<rsup|2>+\<cdots\>+f<around*|(|n|)>q<rsup|n>>
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你有什么想法，这里 <math|f<around*|(|x|)>> 是一个多项式.
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</problem>
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\;
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<\problem>
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设数列 <math|<around*|{|a<rsub|n>|}><around*|(|n=1,2,\<ldots\>|)>>
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对任意正整数 <math|n> 都成立 <math|a<rsub|n>\<gtr\>a<rsub|n+1>>.
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(1). 设 <math|A<rsub|n>=<frac|1|n><around*|(|a<rsub|1>+a<rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n>|)>>，求证:
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||
对任意正整数 <math|n>，有 <math|A<rsub|n>\<gtr\>A<rsub|n+1>>.
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||
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(2). 如果这个数列的所有项都是正实数，求证:对任意正整数<math|n>,有
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<math|G<rsub|n>\<gtr\>G<rsub|n+1>> 和
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<math|H<rsub|n>\<gtr\>H<rsub|n+1>>，其中 <math|G<rsub|n>> 和
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<math|H<rsub|n>> 的定义如下:
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<\equation*>
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G<rsub|n>=<sqrt|a<rsub|1>a<rsub|2>\<cdots\>a<rsub|n>|n>,<space|1spc>H<rsub|n>=<frac|n|<frac|1|a<rsub|1>>+<frac|1|a<rsub|2>>+\<cdots\>+<frac|1|a<rsub|n>>>
|
||
</equation*>
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</problem>
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\;
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||
<\problem>
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(1). 证明: <math|<frac|1|n+1>+<frac|1|n+2>+\<cdots\>+<frac|1|2n>\<gtr\><frac|1|2>.>
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||
(2). 利用 (1) 的结论，证明 <math|S<rsub|n>=1+<frac|1|2>+\<cdots\>+<frac|1|n>>
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||
能够大于任意正实数 <math|M>，只要 <math|n> 足够大.
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||
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||
(3). 证明: <math|<frac|1|2<rsup|m>+1>+<frac|1|2<rsup|m>+2>+\<cdots\>+<frac|1|2<rsup|m+1>>\<gtr\><frac|1|2>>.
|
||
|
||
(4). 利用 (3) 的结论，证明 <math|S<rsub|n>=1+<frac|1|2>+\<cdots\>+<frac|1|n>>
|
||
能够大于任意正实数 <math|M>，只要 <math|n> 足够大.
|
||
</problem>
|
||
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||
\;
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|
||
<\problem>
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设 <math|a<rsub|n>=<frac|1|n><around*|(|1+<frac|1|2>+\<cdots\>+<frac|1|n>|)>>，证明:
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<math|a<rsub|n>\<gtr\>a<rsub|n+1>>.
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</problem>
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<chapter|向量与复数>
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\;
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和差运算，分解定理，内积
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复数的四则运算，棣模弗定理
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<\problem>
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(1) 设平面向量 <math|\<b-a\>=<around*|(|x,y|)>>,沿坐标轴方向的单位向量分别是
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<math|\<b-i\>> 和 <math|\<b-j\>>,求证:
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||
<math|\<b-a\>=<around*|(|\<b-a\>\<cdot\>\<b-i\>|)>\<b-i\>+<around*|(|\<b-a\>\<cdot\>\<b-j\>|)>\<b-j\>>.
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</problem>
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<chapter|不等式>
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<section|均值不等式>
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<\theorem>
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设 <math|a\<gtr\>0>, <math|b\<gtr\>0>，记
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<\equation*>
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H=<frac|2|<frac|1|a>+<frac|1|b>>,<space|1spc>G=<sqrt|a
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b>,<space|1spc>A=<frac|a+b|2>,<space|1spc>Q=<sqrt|<frac|a<rsup|2>+b<rsup|2>|2>>
|
||
</equation*>
|
||
|
||
则有 <math|H\<leqslant\>G\<leqslant\>A\<leqslant\>Q>
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||
成立，并且等号都仅在 <math|a=b> 时成立.称 <math|H>
|
||
是这两个数的调和平均数，<math|G>
|
||
是这两个数的几何平均数，<math|A>
|
||
是这两个数的算术平均数，<math|Q>
|
||
是这两个数的平方平均数.
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</theorem>
|
||
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<\problem>
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||
设实数 <math|x\<neq\>0>，求证: <math|<around*|\||x+<frac|1|x>|\|>\<geqslant\>2>.
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你能想到的最简便的证明是什么?
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</problem>
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<\problem>
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\;
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(1). 两个数的调和、几何、算术、平方平均数都具有形式
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<math|f<rsup|-1><around*|(|<frac|f<around*|(|a|)>+f<around*|(|b|)>|2>|)>>
|
||
的形式，请指出每一种平均数对应的函数
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<math|f<around*|(|x|)>>.
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||
|
||
(2). 两个数的上述四种平均数既然由函数
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||
<math|f<around*|(|x|)>> 所决定，那么它们的大小关系自然也就由对应函数的性质决定，从函数图象上看，这四个平均数的大小关系体现了对应的四个函数的什么特性?
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(3). 你能否利用其它函数构建出几种关于两个数的平均数，并将它们加入到均值不等式链中?
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</problem>
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<\problem>
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请证明：在匀变速直线运动中，在一段时间内的中间位移处的瞬时速度，大于中间时刻处的瞬时速度.
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</problem>
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<\problem>
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证明柯西不等式，对于两组实数
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<math|a<rsub|i><around*|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>> 和
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<math|b<rsub|i><around*|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>，证明
|
||
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<\equation*>
|
||
<around*|(|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>a<rsub|i>b<rsub|i>|)><rsup|2>\<leqslant\><around*|(|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>a<rsub|i><rsup|2>|)><around*|(|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>b<rsub|i><rsup|2>|)>
|
||
</equation*>
|
||
|
||
并且等号仅在两组实数对应成比例时取得，即存在实数
|
||
<math|\<lambda\>>，使得 <math|a<rsub|i>=\<lambda\>b<rsub|i><around*|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>
|
||
成立.
|
||
</problem>
|
||
|
||
<\problem>
|
||
证明闵可夫斯基不等式，对于两组实数
|
||
<math|a<rsub|i><around*|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>> 和
|
||
<math|b<rsub|i><around*|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>，证明
|
||
|
||
<\equation*>
|
||
<sqrt|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n><around*|(|a<rsub|i>+b<rsub|i>|)><rsup|2>>\<leqslant\><sqrt|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>a<rsub|i><rsup|2>>+<sqrt|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>b<rsub|i><rsup|2>>
|
||
</equation*>
|
||
|
||
并且等式仅在两组实数对应成正比例时取得，即存在正的实数
|
||
<math|\<lambda\>>，使得 <math|a<rsub|i>=\<lambda\>b<rsub|i><around*|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>
|
||
成立.
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</problem>
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\;
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\;
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<chapter|解析几何>
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曲线与方程，直线的方程，圆的方程，参数方程，椭圆，双曲线，抛物线.
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\;
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<\definition>
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||
在平面直角坐标系中，坐标变换
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||
<math|<around*|(|x,y|)>\<rightarrow\><around*|(|x+a,y+b|)>>
|
||
称为平移变换，称向量 <math|\<b-v\>=<around*|(|a,b|)>>
|
||
为平移向量；坐标变换 <math|<around*|(|x,y|)>\<rightarrow\><around*|(|\<lambda\>x,\<mu\>y|)>>
|
||
为伸缩变换，<math|\<lambda\>> 和 <math|\<mu\>>
|
||
分别称为横坐标伸缩因子和纵坐标伸缩因子.
|
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</definition>
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\;
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<\problem>
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(1). 设某曲线在平面直角坐标下的方程为
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<math|f<around*|(|x,y|)>=0>，证明：将曲线按照向量
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||
<math|\<b-v\>=<around*|(|a,b|)>> 进行平移后所得新曲线的方程为
|
||
<math|f<around*|(|x-a,y-b|)>=0>.
|
||
|
||
(2). 函数 <math|y=f<around*|(|x|)>> 的图象按向量
|
||
<math|\<b-v\>=<around*|(|a,b|)>> 进行平移后的新图象对应的函数表达式是什么?
|
||
|
||
(3). 如何由二次函数 <math|y=x<rsup|2>>
|
||
经平移和伸缩后得到二次函数 <math|y=a x<rsup|2>+b x+c> ?
|
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并研究其对称轴和顶点是如何跟着变换的.
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</problem>
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\;
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<\problem>
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||
(1). 证明：所有的抛物线都是相似的.
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(2). 证明: 离心率相同的椭圆是相似的，离心率相同的双曲线也都是相似的.
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||
(3). 综合 (1) 与 (2) 的结论，圆锥曲线的形状与离心率之间是什么关系?
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</problem>
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\;
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<\problem>
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(1). 求由圆 <math|x<rsup|2>+y<rsup|2>=1> 伸缩变换为椭圆
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<math|<frac|x<rsup|2>|a<rsup|2>>+<frac|y<rsup|2>|b<rsup|2>>=1>
|
||
的伸缩因子.
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||
(2). 平面上任意一个三角形，设其面积为
|
||
<math|S>，在经过伸缩变换 <math|L<around*|(|\<lambda\>,\<mu\>|)>>
|
||
之后，新三角形的面积为 <math|S<rprime|'>>，证明:
|
||
<math|S<rprime|'>=\<lambda\>\<mu\>S>.
|
||
(并思考：空间中，一个平面上的图形投影到另一个平面上，面积与投影面积之间有什么关系?)
|
||
|
||
(3). 利用祖瞰原理，将 (2) 的结论推广到平面上任意具有面积的图形上.
|
||
|
||
(4). 利用 (3) 的结论，证明: 长轴长为 <math|2a>，短轴长为
|
||
<math|2b> 的椭圆，其面积是 <math|S=\<pi\>a b>.
|
||
</problem>
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\;
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<\problem>
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(1). 如果直线 <math|l> 与曲线 <math|C> 在某点 <math|P>
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处相切，证明: 在经过伸缩变换
|
||
<math|L<around*|(|\<lambda\>,\<mu\>|)>> 变换之后的新直线
|
||
<math|l<rprime|'>> 与新曲线 <math|C<rprime|'>> 也相切于
|
||
<math|P<rprime|'>> 点，这里 <math|P<rprime|'>> 是点 <math|P>
|
||
在变换下的像点.
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||
|
||
(2). 利用 (1) 的结论，推导椭圆在其上任意一点处的切线方程.
|
||
</problem>
|
||
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||
\;
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|
||
<\problem>
|
||
（1） 设点 <math|P> 在平面直角坐标下的坐标是
|
||
<math|<around*|(|x,y|)>>，现将坐标轴绕原点逆时针旋转一个角度
|
||
<math|\<theta\>>，求证：点 <math|P> 在新坐标系下的坐标
|
||
<math|<around*|(|x<rprime|'>,y<rprime|'>|)>> 为
|
||
|
||
<\equation*>
|
||
<around*|{|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|x<rprime|'>=x
|
||
cos\<theta\>+y sin\<theta\>>>|<row|<cell|y<rprime|'>=y cos\<theta\>-x
|
||
sin\<theta\>>>>>>|\<nobracket\>>
|
||
</equation*>
|
||
|
||
\;
|
||
|
||
(2) 利用 (1) 的结论，推导反比例函数
|
||
<math|y=<frac|a|x><around*|(|a\<gtr\>0|)>>
|
||
的图象在将坐标轴绕原点逆时针旋转 <math|45<rsup|\<circ\>>>
|
||
后的新方程，并说明它是一个双曲线.
|
||
|
||
(3). 选择恰当的旋转变换 <math|R<around*|(|\<theta\>|)>>，证明函数
|
||
<math|y=x+<frac|a|x><around*|(|a\<neq\>0|)>> 的图象是双曲线.
|
||
</problem>
|
||
|
||
\;
|
||
|
||
<\problem>
|
||
设抛物线 <math|C>: <math|y<rsup|2>=2p
|
||
x<around*|(|p\<gtr\>0|)>>，过定点
|
||
<math|K<around*|(|2p\<nocomma\>,0|)>> 的直线 <math|l> 与抛物线
|
||
<math|C> 交于 <math|A>、<math|B> 两点. <math|O> 为坐标系原点.
|
||
求证: <math|O A\<perp\>O B>.
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</problem>
|
||
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||
<chapter|立体几何>
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\;
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||
空间向量,直线与平面的公理，线线关系，异面直线，线面关系，面面关系，棱柱，棱锥，四面体.
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|
||
<\problem>
|
||
由空间中一点 <math|O> 引出三条射线 <math|O A>、<math|O
|
||
B>、<math|O C> 所得图形称为三面角，三条射线称为三面角的棱，显然三面角有三个射线夹角与三个二面角，以射线
|
||
<math|O A> 为棱的二面角记为 <math|\<alpha\>>，以射线 <math|O
|
||
B> 为棱的二面角记为 <math|\<beta\>>，以射线 <math|O C>
|
||
为棱的二面角记为 <math|\<gamma\>>.
|
||
|
||
(1) 证明三角面的第一余弦定理:\
|
||
|
||
<\eqnarray*>
|
||
<tformat|<table|<row|<cell|cos\<angle\>A O
|
||
B>|<cell|=>|<cell|cos\<angle\>A O C cos\<angle\>B O C+sin\<angle\> A O
|
||
C sin\<angle\> B O C cos\<gamma\>>>|<row|<cell|cos\<angle\>B O
|
||
C>|<cell|=>|<cell|cos\<angle\>B O A cos\<angle\>C O A+sin\<angle\> B O
|
||
A sin\<angle\> C O A cos\<alpha\>>>|<row|<cell|cos\<angle\>C O
|
||
A>|<cell|=>|<cell|cos\<angle\>C O B cos\<angle\>A O B+sin\<angle\> C O
|
||
B sin\<angle\> A O B cos\<beta\>>>>>
|
||
</eqnarray*>
|
||
|
||
并说明余弦的和差角公式是这组公式的特殊情况.
|
||
|
||
(2). 在二面角 <math|A-O K-B> 中，设 <math|\<angle\>A O
|
||
K=\<alpha\>>，<math|\<angle\>B O K=\<beta\>>，<math|\<angle\>A O
|
||
B=\<gamma\>>，二面角的大小为 <math|\<theta\>>，证明
|
||
|
||
<\equation*>
|
||
cos\<gamma\>=cos\<alpha\> cos\<beta\>+sin\<alpha\> sin\<beta\>
|
||
cos\<theta\>
|
||
</equation*>
|
||
|
||
尤其在 <math|\<theta\>=<frac|\<pi\>|2>>
|
||
即直二面角的情况下，公式简化为
|
||
<math|cos\<gamma\>=cos\<alpha\> cos\<beta\>>.
|
||
</problem>
|
||
|
||
<chapter|排列、组合与二项式定理>
|
||
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||
\;
|
||
|
||
<\problem>
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||
\;
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||
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||
(1). 求方程 <math|x<rsub|1>+x<rsub|2>+\<cdots\>+x<rsub|n>=m
|
||
<around*|(|m\<geqslant\>n|)>> 的非负整数解的个数.
|
||
|
||
(2). 求方程 <math|x<rsub|1>+x<rsub|2>+\<cdots\>+x<rsub|n>=m
|
||
<around*|(|m\<geqslant\>n|)>> 的正整数解的个数. (提示: 令
|
||
<math|y<rsub|i>=x<rsub|i>-1> 并利用 (1) 的结果)
|
||
</problem>
|
||
|
||
\;
|
||
|
||
<\problem>
|
||
证明: <math|<around*|(|1+<frac|1|n>|)><rsup|n>\<less\>3>.
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||
</problem>
|
||
|
||
<chapter|极限与导数>
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||
|
||
\;
|
||
|
||
<\problem>
|
||
<\enumerate-numeric>
|
||
<item>证明: 对任意实数 <math|x>，成立不等式
|
||
<math|<with|math-font-family|rm|e><rsup|x>\<geqslant\>1+x>，且等号仅在
|
||
<math|x=0> 时成立.
|
||
|
||
<item>证明: 对任意 <math|x\<gtr\>-1>，成立不等式
|
||
<math|ln<around*|(|1+x|)>\<less\>x>，且等号仅在 <math|x=0>
|
||
时成立.并由此推出不等式 <math|ln<around*|(|1+<frac|1|n>|)>\<less\><frac|1|n>>，这里
|
||
<math|n> 是任意正整数.
|
||
|
||
<item>证明: 对 <math|x\<gtr\>1> 成立不等式 <math|ln
|
||
x\<less\><frac|1|2><around*|(|x-<frac|1|x>|)>>，并由此推出不等式
|
||
<math|ln<around*|(|1+<frac|1|n>|)>\<less\><frac|1|2><around*|(|<frac|1|n>+<frac|1|n+1>|)>>.
|
||
</enumerate-numeric>
|
||
</problem>
|
||
|
||
\;
|
||
|
||
<\problem>
|
||
<\enumerate-numeric>
|
||
<item>设实数 <math|x\<gtr\>0>，证明不等式
|
||
<math|<frac|x|1+x>\<less\>ln<around*|(|1+x|)>\<less\>x>.
|
||
|
||
<item>证明: 对任意正整数 <math|n> 成立不等式
|
||
<math|<frac|1|n+1>\<less\>ln<around*|(|1+<frac|1|n>|)>\<less\><frac|1|n>>，并由此证明\
|
||
|
||
<\equation*>
|
||
ln<around*|(|n+1|)>\<less\>1+<frac|1|2>+\<cdots\>+<frac|1|n>\<less\>1+ln
|
||
n
|
||
</equation*>
|
||
|
||
<item>设 <math|b\<gtr\>a\<gtr\>0>，证明不等式
|
||
<math|a\<less\><frac|a-b|ln a-ln b>\<less\>b>.
|
||
该式中间的部分称为 <math|a> 与 <math|b> 的对数平均数.
|
||
|
||
<item>证明对数均值不等式: 设 <math|a\<gtr\>0,b\<gtr\>0>，且
|
||
<math|a\<neq\>b>，有
|
||
|
||
<\equation*>
|
||
<sqrt|a b>\<less\><frac|a-b|ln a-ln b>\<less\><frac|a+b|2>
|
||
</equation*>
|
||
</enumerate-numeric>
|
||
</problem>
|
||
|
||
\;
|
||
|
||
<\problem>
|
||
对任意正整数 <math|n>，定义两个多项式如下
|
||
|
||
<\equation*>
|
||
E<rsub|n><around*|(|x|)>=1+x+<frac|x<rsup|2>|2!>+\<cdots\>+<frac|x<rsup|n>|n!>\<nocomma\>,<space|1spc>L<rsub|n><around*|(|x|)>=x-<frac|x<rsup|2>|2>+<frac|x<rsup|3>|3>+\<cdots\>+<around*|(|-1|)><rsup|n-1><frac|x<rsup|n>|n>
|
||
</equation*>
|
||
|
||
<\enumerate-numeric>
|
||
<item>设 <math|x\<neq\>0>，证明：对任意正整数
|
||
<math|n>，都有 <math|<with|math-font-family|rm|e><rsup|x>\<gtr\>E<rsub|n><around*|(|x|)>>.
|
||
|
||
<item>设 <math|x\<gtr\>0> ，证明: 当正整数 <math|n>
|
||
是奇数时，有 <math|ln <around*|(|1+x|)>\<less\>L<rsub|n><around*|(|x|)>>，而当
|
||
<math|n> 是偶数时，有<math|ln<around*|(|1+x|)>\<gtr\>L<rsub|n><around*|(|x|)>>.
|
||
|
||
<item>记
|
||
|
||
<\equation*>
|
||
S<rsub|n><around*|(|x|)>=x-<frac|x<rsup|3>|3!>+\<cdots\>+<around*|(|-1|)><rsup|n><frac|x<rsup|2n+1>|<around*|(|2n+1|)>!>,<space|1spc>C<rsub|n><around*|(|x|)>=1-<frac|x<rsup|2>|2!>+\<cdots\>+<around*|(|-1|)><rsup|n-1><frac|x<rsup|2n>|<around*|(|2n|)>!>
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</equation*>
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则当 <math|x\<gtr\>0> 时，若 <math|n> 为偶数，则 <math|sin
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x\<gtr\>S<rsub|n><around*|(|x|)>> 并且 <math|cos
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||
x\<less\>C<rsub|n><around*|(|x|)>>，反之若 <math|n> 为奇数，则
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<math|sin x\<less\>S<rsub|n><around*|(|x|)>> 并且 <math|cos
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x\<gtr\>C<rsub|n><around*|(|x|)>>.
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</enumerate-numeric>
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</problem>
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\;
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<\solution*>
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(1).令<math|f<rsub|n><around*|(|x|)>=<with|math-font-family|rm|e><rsup|x>-E<rsub|n><around*|(|x|)>>，显然
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<math|f<rsub|n><around*|(|0|)>=0>，并且容易验证
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<math|E<rsub|n+1><rprime|'><around*|(|x|)>=E<rsub|n><around*|(|x|)>>，使用归纳法，当
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<math|n=1> 时，<math|f<rsub|1><rprime|'><around*|(|x|)>=<with|math-font-family|rm|e><rsup|x>-E<rsub|1><rprime|'><around*|(|x|)>=<with|math-font-family|rm|e><rsup|x>-1>，显然当
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<math|x\<gtr\>0> 时 <math|f<rsub|1><rprime|'><around*|(|x|)>\<gtr\>0>，即
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<math|f<rsub|1><around*|(|x|)>> 在 <math|<around*|[|0,+\<infty\>|)>>
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上严格增加，而在 <math|x\<less\>0> 时
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<math|f<rsub|1><rprime|'><around*|(|x|)>\<less\>0>，<math|f<rsub|1><around*|(|x|)>>
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在 <math|<around*|(|-\<infty\>,0|]>> 上严格减少，故无论
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<math|x> 符号如何恒有 <math|f<rsub|1><around*|(|x|)>\<gtr\>f<around*|(|0|)>=0>，所以
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<math|n=1> 时结论成立.
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假定结论对于正整数 <math|n> 也成立，那么
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<math|f<rsub|n+1><rprime|'><around*|(|x|)>=<with|math-font-family|rm|e><rsup|x>-E<rsub|n+1><rprime|'><around*|(|x|)>=<with|math-font-family|rm|e><rsup|x>-E<rsub|n><around*|(|x|)>>，由假设可知
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<math|f<rsub|n+1><rprime|'><around*|(|x|)>\<gtr\>0>，于是结论对于
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<math|n+1> 也成立.
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(2). 同样作函数 <math|f<around*|(|x|)>=ln<around*|(|1+x|)>-L<rsub|n><around*|(|x|)>>，可以验证
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<math|f<around*|(|0|)>=0> 以及
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<\equation*>
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L<rsub|n><rprime|'><around*|(|x|)>=1-x+x<rsup|2>-\<cdots\>+<around*|(|-x|)><rsup|n-1>=<frac|1-<around*|(|-x|)><rsup|n>|1+x>
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</equation*>
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因此
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<\equation*>
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f<rsub|n><rprime|'><around*|(|x|)>=<frac|1|1+x>-<frac|1-<around*|(|-x|)><rsup|n>|1+x>=<frac|<around*|(|-x|)><rsup|n>|1+x>
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</equation*>
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由此可见，若 <math|n> 为偶数，则函数
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<math|f<rsub|n><around*|(|x|)>> 在 <math|<around*|[|0,+\<infty\>|)>>
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上严格增加，反之若 <math|n> 为奇数，则是严格减少的，再结合
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\ <math|f<rsub|n><around*|(|0|)>=0> 即得结论.
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(3). 仍然作函数 <math|f<rsub|n><around*|(|x|)>=sin
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x-S<rsub|n><around*|(|x|)>> 与 <math|g<rsub|n><around*|(|x|)>=cos
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x-C<rsub|n><around*|(|x|)>>，可以验证
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<math|f<rsub|n><around*|(|0|)>=g<rsub|n><around*|(|0|)>=0> 以及
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<\equation*>
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f<rprime|'><around*|(|x|)>=g<rsub|n><around*|(|x|)>\<nocomma\>,<space|1spc>g<rsub|n><rprime|'><around*|(|x|)>=-f<rsub|n-1><around*|(|x|)>
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</equation*>
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对于 <math|n=0,1> 的情况，不等式的验证此处略去，假如对于正整数
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<math|n> 结论成立，那么对于 <math|n+1> 的情况，由
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<math|g<rsub|n+1><rprime|'><around*|(|x|)>=-f<rsub|n><around*|(|x|)>>
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即知余弦的部分成立，再由 <math|f<rsub|n+1><rprime|'><around*|(|x|)>=g<rsub|n><around*|(|x|)>>
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知正弦的部分成立.于是结论成立.
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</solution*>
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\;
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\;
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\;
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\;
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\;
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</body>
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<\references>
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<\collection>
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<associate|auto-1|<tuple|?|3>>
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<associate|auto-10|<tuple|3|21>>
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<associate|auto-11|<tuple|3.1|23>>
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<associate|auto-12|<tuple|3.2|?>>
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||
<associate|auto-13|<tuple|4|?>>
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||
<associate|auto-14|<tuple|5|?>>
|
||
<associate|auto-15|<tuple|5.1|?>>
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||
<associate|auto-16|<tuple|6|?>>
|
||
<associate|auto-17|<tuple|7|?>>
|
||
<associate|auto-18|<tuple|8|?>>
|
||
<associate|auto-19|<tuple|9|?>>
|
||
<associate|auto-2|<tuple|1|7>>
|
||
<associate|auto-3|<tuple|2|9>>
|
||
<associate|auto-4|<tuple|2.1|11>>
|
||
<associate|auto-5|<tuple|2.2|13>>
|
||
<associate|auto-6|<tuple|2.3|15>>
|
||
<associate|auto-7|<tuple|2.4|15>>
|
||
<associate|auto-8|<tuple|2.5|17>>
|
||
<associate|auto-9|<tuple|2.6|19>>
|
||
<associate|montonicity-of-combined-func|<tuple|2.2|?>>
|
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<associate|montonicity-of-sum-of-x-and-a-over-x|<tuple|2.5|?>>
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</collection>
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</references>
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<\auxiliary>
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<\collection>
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<\associate|toc>
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<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|摘要>
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<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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<no-break><pageref|auto-1><vspace|0.5fn>
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<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|1<space|2spc>预备知识>
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<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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<no-break><pageref|auto-2><vspace|0.5fn>
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<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|2<space|2spc>函数>
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<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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<no-break><pageref|auto-3><vspace|0.5fn>
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2.1<space|2spc>复合函数 <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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<no-break><pageref|auto-4>
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2.2<space|2spc>反函数 <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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<no-break><pageref|auto-5>
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2.3<space|2spc>单调性 <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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<no-break><pageref|auto-6>
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2.4<space|2spc>对称性 <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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<no-break><pageref|auto-7>
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2.5<space|2spc>周期性 <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
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<no-break><pageref|auto-8>
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||
2.6<space|2spc>凸性 <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
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<no-break><pageref|auto-9>
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<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|3<space|2spc>数列>
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<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
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<no-break><pageref|auto-10><vspace|0.5fn>
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||
3.1<space|2spc>等差数列 <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
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<no-break><pageref|auto-11>
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||
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3.2<space|2spc>等比数列 <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
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<no-break><pageref|auto-12>
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<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|4<space|2spc>向量与复数>
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<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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<no-break><pageref|auto-13><vspace|0.5fn>
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<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|5<space|2spc>不等式>
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<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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<no-break><pageref|auto-14><vspace|0.5fn>
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5.1<space|2spc>均值不等式 <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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<no-break><pageref|auto-15>
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<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|6<space|2spc>解析几何>
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<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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<no-break><pageref|auto-16><vspace|0.5fn>
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<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|7<space|2spc>立体几何>
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<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
||
<no-break><pageref|auto-17><vspace|0.5fn>
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<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|8<space|2spc>排列、组合与二项式定理>
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<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
||
<no-break><pageref|auto-18><vspace|0.5fn>
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||
|
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<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|9<space|2spc>极限与导数>
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<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
||
<no-break><pageref|auto-19><vspace|0.5fn>
|
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</associate>
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</collection>
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</auxiliary> |