planet/doc/2019年全国高中数学联合竞赛一试试题A卷.tm

<TeXmacs|2.1.2>

<style|<tuple|exam|chinese|number-europe|number-long-article|old-lengths>>

<\body>
  \;

  <\doc-data|<doc-title|2019\<#5E74\>\<#5168\>\<#56FD\>\<#9AD8\>\<#4E2D\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#8054\>\<#5408\>\<#7ADE\>\<#8D5B\>\<#4E00\>\<#8BD5\>\<#8BD5\>\<#9898\>\<#FF08\>A\<#5377\>)>|<doc-author|<author-data|<author-name|<TeXmacs>\<#4E2D\>\<#6587\>\<#793E\>\<#533A\>>|<\author-note>
    \<#672C\>\<#8BD5\>\<#5377\>\<#7531\><hlink|<TeXmacs>\<#4E2D\>\<#6587\>\<#793E\>\<#533A\>|http://texmacs.cn>\<#4F7F\>\<#7528\>GNU
    <TeXmacs> <TeXmacs-version>\<#6392\>\<#7248\>\<#5236\>\<#4F5C\>
  </author-note>>>>
    \;
  </doc-data>

  <subsection*|\<#4E00\>\<#3001\>\<#586B\>\<#7A7A\>\<#9898\>\<#FF1A\>\<#672C\>\<#5927\>\<#9898\>\<#5171\>8\<#5C0F\>\<#9898\>\<#FF0C\>\<#6BCF\>\<#5C0F\>\<#9898\>8\<#5206\>\<#FF0C\>\<#6EE1\>\<#5206\>64\<#5206\>\<#3002\>>

  <\enumerate>
    <item>\<#5DF2\>\<#77E5\>\<#6B63\>\<#5B9E\>\<#6570\><math|a>\<#6EE1\>\<#8DB3\><math|a<rsup|a>=<around*|(|9*a|)><rsup|8*a>>\<#FF0C\>\<#5219\><math|log<rsub|a><around*|(|3*a|)>>\<#7684\>\<#503C\>\<#4E3A\><underline|<space|3em>>.

    <item>\<#82E5\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#5408\><math|<around*|{|1,2,3,x|}>>\<#7684\>\<#6700\>\<#5927\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#4E0E\>\<#6700\>\<#5C0F\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#4E4B\>\<#5DEE\>\<#7B49\>\<#4E8E\>\<#8BE5\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#7684\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#4E4B\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#5219\><math|x>\<#7684\>\<#503C\>\<#4E3A\><underline|<space|3em>>.

    <item>\<#5E73\>\<#9762\>\<#76F4\>\<#89D2\>\<#5750\>\<#6807\>\<#7CFB\>\<#4E2D\>\<#FF0C\><math|<wide|e|\<vect\>>>\<#662F\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#5411\>\<#91CF\><math|<wide|a|\<vect\>>>\<#6EE1\>\<#8DB3\><math|<wide|a|\<vect\>>\<cdot\><wide|e|\<vect\>>=2>\<#FF0C\>\<#4E14\><math|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>\<leqslant\>5<around*|\||<wide|a|\<vect\>>+t<wide|e|\<vect\>>|\|>>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5B9E\>\<#6570\><math|t>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5219\><math|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>>\<#7684\>\<#53D6\>\<#503C\>\<#8303\>\<#56F4\>\<#4E3A\><underline|<space|3em>>.

    <item>\<#8BBE\><math|A,B>\<#4E3A\>\<#692D\>\<#5706\><math|\<Gamma\>>\<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#7126\>\<#70B9\>\<#FF0C\><math|<around*|\||AB|\|>=4>\<#FF0C\><math|<around*|\||AF|\|>=2+<sqrt|3>>\<#FF0C\><math|P>\<#4E3A\><math|\<Gamma\>>\<#4E0A\>\<#4E00\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#6EE1\>\<#8DB3\><math|<around*|\||PE|\|>\<cdot\><around*|\||PF|\|>=2>\<#FF0C\>\<#5219\><math|\<Delta\>PEF>\<#7684\>\<#9762\>\<#79EF\>\<#4E3A\><underline|<space|3em>>.

    <item>\<#5728\><math|1,2,3,\<ldots\>,10>\<#4E2D\>\<#968F\>\<#673A\>\<#9009\>\<#51FA\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6570\><math|a>\<#FF0C\>\<#5728\><math|-1,-2,-3,\<ldots\>,-10>\<#4E2D\>\<#968F\>\<#673A\>\<#9009\>\<#51FA\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6570\><math|b>\<#FF0C\>\<#5219\><math|a<rsup|2>+b>\<#88AB\>3\<#6574\>\<#9664\>\<#7684\>\<#6982\>\<#7387\>\<#4E3A\><underline|<space|3em>>.

    <item>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\><math|I>\<#FF0C\>\<#7528\><math|M<rsub|I>>\<#8868\>\<#793A\>\<#51FD\>\<#6570\><math|y=sin
    x>\<#5728\><math|I>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#6700\>\<#5927\>\<#503C\>.\<#82E5\>\<#6B63\>\<#6570\><math|a>\<#6EE1\>\<#8DB3\><math|M<rsub|<around*|{|0,a|}>>=2M<rsub|<around*|{|a,2a|}>>>\<#FF0C\>\<#5219\><math|a>\<#7684\>\<#503C\>\<#4E3A\><underline|<space|3em>>.

    <item>\<#5982\>\<#56FE\>\<#FF0C\>\<#6B63\>\<#65B9\>\<#4F53\><math|ABCD-EFGH>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#622A\>\<#9762\>\<#7ECF\>\<#8FC7\>\<#9876\>\<#70B9\>A,
    C\<#53CA\>\<#68F1\>EF\<#4E0A\>\<#4E00\>\<#70B9\>K\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5C06\>\<#6B63\>\<#65B9\>\<#5F62\>\<#5206\>\<#6210\>\<#4F53\>\<#79EF\>\<#6BD4\>\<#4E3A\>3:1\<#7684\>\<#4E24\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#5219\><math|<with|math-display|true|<frac|EK|KF>>>\<#7684\>\<#503C\>\<#4E3A\><underline|<space|3em>>.

    <\script-output|asymptote|default>
      % -width 270

      import three;

      \;

      size (100);

      \;

      triple

      \ D= (0,0,0),

      \ A= (1,0,0),

      \ B= (1,1,0),

      \ C= (0,1,0),

      \ H= (0,0,1),

      \ E= (1,0,1),

      \ F= (1,1,1),

      \ G= (0,1,1),

      \ K= (1, 2/3, 1);

      \ 

      dot("$A$", A, NE);

      dot("$B$", B, NE);

      dot("$C$", C, NE);

      dot("$D$", D, NE);

      dot("$E$", E, NE);

      dot("$F$", F, NE);

      dot("$G$", G, NE);

      dot("$H$", H, NE);

      dot("$K$", K);

      \;

      \;

      draw (A--B--C);

      draw (D--A, dotted);

      draw (D--C, dotted);

      draw (D--H, dotted);

      draw (A--E);

      draw (B--F);

      draw (C--G);

      draw (E--F--G--H--cycle);
    </script-output|<image|<tuple|<#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

    <item>\<#5C06\>6\<#4E2A\>\<#6570\><math|2,0,1,9,20,19>\<#6309\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B21\>\<#5E8F\>\<#6392\>\<#6210\>\<#4E00\>\<#884C\>\<#FF0C\>\<#62FC\>\<#6210\>\<#4E00\>\<#4E2A\>8\<#4F4D\>\<#6570\>\<#FF08\>\<#9996\>\<#4F4D\>\<#4E0D\>\<#4E3A\>0\<#FF09\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#4EA7\>\<#751F\>\<#7684\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>8\<#4F4D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#4E3A\><underline|<space|3em>>.
  </enumerate>

  <subsection*|\<#4E8C\>\<#3001\>\<#89E3\>\<#7B54\>\<#9898\>\<#FF1A\>\<#672C\>\<#5927\>\<#9898\>\<#5171\>3\<#5C0F\>\<#9898\>\<#FF0C\>\<#6EE1\>\<#5206\>56\<#5206\>\<#3002\>\<#89E3\>\<#7B54\>\<#5E94\>\<#5199\>\<#51FA\>\<#6587\>\<#5B57\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#3001\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#6216\>\<#6F14\>\<#7B97\>\<#6B65\>\<#9AA4\>\<#3002\>>

  <\enumerate>
    <item>\<#FF08\>\<#672C\>\<#9898\>\<#6EE1\>\<#5206\>16\<#5206\>\<#FF09\>\<#5728\><math|\<Delta\>ABC>\<#4E2D\>\<#FF0C\><math|BC=a>\<#FF0C\><math|CA=b>\<#FF0C\><math|AB=c>.\<#82E5\>b\<#662F\>a\<#4E0E\>c\<#7684\>\<#7B49\>\<#6BD4\>\<#4E2D\>\<#9879\>\<#FF0C\>\<#4E14\><math|sin
    A>\<#662F\><math|sin<around*|(|B-A|)>>\<#4E0E\><math|sin
    C>\<#7684\>\<#7B49\>\<#5DEE\>\<#4E2D\>\<#9879\>\<#FF0C\>\<#6C42\><math|cos
    B>\<#7684\>\<#503C\>.

    <item>\<#FF08\>\<#672C\>\<#9898\>\<#6EE1\>\<#5206\>20\<#5206\>\<#FF09\>\<#5728\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#76F4\>\<#89D2\>\<#5750\>\<#6807\>\<#7CFB\><math|xOy>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#5706\><math|\<Omega\>>\<#4E0E\>\<#629B\>\<#7269\>\<#7EBF\><math|\<Gamma\>:y<rsup|2>=4*x>\<#6070\>\<#6709\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#516C\>\<#5171\>\<#70B9\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5706\><math|\<Omega\>>\<#4E0E\><math|x>\<#8F74\>\<#76F8\>\<#5207\>\<#4E8E\><math|\<Gamma\>>\<#7684\>\<#7126\>\<#70B9\><math|F>\<#FF0C\>\<#6C42\>\<#5706\><math|\<Omega\>>\<#7684\>\<#534A\>\<#5F84\>.

    <item>\<#FF08\>\<#672C\>\<#9898\>\<#6EE1\>\<#5206\>20\<#5206\>\<#FF09\>\<#79F0\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#590D\>\<#6570\>\<#6570\>\<#5217\><math|<around*|{|z<rsub|n>|}>>\<#4E3A\>\<#201C\>\<#6709\>\<#8DA3\>\<#7684\>\<#201D\>\<#FF0C\>\<#82E5\><math|<around*|\||z<rsub|1>|\|>=1>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>n\<#FF0C\>\<#5747\>\<#6709\><math|4z<rsub|n+1><rsup|2>+2z<rsub|n>z<rsub|n+1>+z<rsub|n><rsup|2>=0>\<#FF0C\>\<#6C42\>\<#6700\>\<#5927\>\<#7684\>\<#5E38\>\<#6570\><math|C>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5BF9\>\<#4E00\>\<#5207\>\<#6709\>\<#8DA3\>\<#7684\>\<#6570\>\<#5217\><math|<around*|{|z<rsub|n>|}>>\<#53CA\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\><math|m>\<#FF0C\>\<#5747\>\<#6709\><math|<around*|\||z<rsub|1>+z<rsub|2>+\<cdots\>+z<rsub|m>|\|>\<geqslant\>C>.
  </enumerate>
</body>

<\initial>
  <\collection>
    <associate|enumerate-levels|4>
    <associate|page-medium|paper>
  </collection>
</initial>

<\references>
  <\collection>
    <associate|auto-1|<tuple|?|1>>
    <associate|auto-2|<tuple|8|1>>
  </collection>
</references>

<\auxiliary>
  <\collection>
    <\associate|toc>
      <with|par-left|<quote|1tab>|\<#4E00\>\<#3001\>\<#586B\>\<#7A7A\>\<#9898\>\<#FF1A\>\<#672C\>\<#5927\>\<#9898\>\<#5171\>8\<#5C0F\>\<#9898\>\<#FF0C\>\<#6BCF\>\<#5C0F\>\<#9898\>8\<#5206\>\<#FF0C\>\<#6EE1\>\<#5206\>64\<#5206\>\<#3002\>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-1>>

      <with|par-left|<quote|1tab>|\<#4E8C\>\<#3001\>\<#89E3\>\<#7B54\>\<#9898\>\<#FF1A\>\<#672C\>\<#5927\>\<#9898\>\<#5171\>3\<#5C0F\>\<#9898\>\<#FF0C\>\<#6EE1\>\<#5206\>56\<#5206\>\<#3002\>\<#89E3\>\<#7B54\>\<#5E94\>\<#5199\>\<#51FA\>\<#6587\>\<#5B57\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#3001\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#6216\>\<#6F14\>\<#7B97\>\<#6B65\>\<#9AA4\>\<#3002\>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-2>>
    </associate>
  </collection>
</auxiliary>